El ejercicio del título proviene de un examen de álgebra lineal para estudiantes de Física de mi universidad. Intenté resolverlo de la siguiente manera, pero estoy seguro de que hay muchos enunciados más generales que pueden demostrarlo.
El hecho de que el vector (que llamaremos $\vec{v}$ ) puede ser expresado como $(1,2,3)$ en la base canónica de $\mathbb{R}^3$ significa que $\vec{v}=1(1,0,0)+2(0,1,0)+3(0,0,1)$ . Si quisiéramos $\vec{v}=(1,1,1)_{B'}$ una posibilidad sería una cierta base $B'$ en el que $\vec{v}=(1,0,0)+(0,2,0)+(0,0,3)=(1,2,3)$ . Pero podemos cambiar esa base de manera particular para que $v$ todavía puede expresarse como $(1,1,1)_{B'}$ . Se puede hacer así:
$$B'=\{(1,0,n),(0,2,-n),(0,0,3)\}, n\in\mathbb{R}$$
Como hay un número infinito de números reales, podemos asegurar que hay al menos 17 bases $B'$ en el que $(1,2,3)$ se puede expresar como $(1,1,1)_{B'}$ .
¿Cómo lo solucionarías? ¿Se te ocurre una forma más general?
Nota: este ejercicio proviene de un curso de álgebra lineal de primer año y vale el 7,5% de la nota final de un examen parcial que se supone que se debe completar en 2,5 horas, así que por favor, como decimos en mi país, no matar moscas a cañonazos . Utiliza, si es posible, las herramientas que tendría un estudiante en esa situación.
