Verificación de la solución fundamental de la ecuación del calor

Question

$$\displaystyle u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4 \pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{-(x-s)^2}{4t}}g(s)ds$$ Comprueba que la función anterior satisface $u_t - u_{xx} = 0$ para cualquier función $g$ .

He escrito $$\displaystyle u_t = -\frac{1}{4 \sqrt{\pi} t^{\frac{3}{2}}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{-(x-s)^2}{4t}}g(s)ds + \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{(x-s)^2}{4t^2} e^{\frac{-(x-s)^2}{4t}}g(s)ds$$ por la regla del producto.

y tengo $$\displaystyle u_{xx} = \frac{1}{\sqrt{4 \pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} \left (\frac{(x-s)^2}{4t^2}e^{\frac{-(x-s)^2}{4t}} - 2t e^{-\frac{(x-s)^2}{4t}} \right ) g(s)ds$$

Sin embargo, no veo cómo se supone que los términos se cancelan para obtener el cero. ¿He cometido un error?

Answer 1

Acabas de cometer un error de álgebra. Deberías haber $$ \frac{\partial}{\partial x} \left[ e^{-\frac{(x-s)^2}{4 t}}\right] = -\frac{(x-s) e^{-\frac{(x-s)^2}{4 t}}}{2 t} $$ y así $$ \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left[ e^{-\frac{(x-s)^2}{4 t}}\right] = \frac{(x-s)^2 e^{-\frac{(x-s)^2}{4 t}}}{4 t^2} - \frac{e^{-\frac{(x-s)^2}{4 t}}}{2 t} \neq \frac{(x-s)^2 e^{-\frac{(x-s)^2}{4 t}}}{4 t^2} - 2t e^{-\frac{(x-s)^2}{4 t}}. $$ Si se corrige el segundo término de la expresión para $u_{xx}$ y tirar de un factor de $t$ del denominador de la integral, verás que es igual a $u_t$ .

Answer 2

Dejemos que $$ \varphi(s,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\exp\left(\frac{-s^{2}}{4t}\right). $$ Como usted señala, la solución fundamental es $$ u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}g(s)\varphi(x-s,t)ds=[g*\varphi(\cdot,t)](x). $$ Por lo tanto, $u_t(\cdot, t) = g * \varphi_t(\cdot, t)$ y $u_{xx}(\cdot, t) = g * \varphi_{xx}(\cdot, t)$ . De ello se desprende que sólo hay que demostrar $\varphi_t = \varphi_{xx}$ . Esto puede establecerse por cálculo directo (véase ici y ici ).