Dejemos que $G$ , $H$ sean grupos divisibles, abelianos, ordenados linealmente, cuyas cardinalidades sean iguales y satisfagan $\mu := |G|=|H|>\aleph_{0}$ .
Se supone que son (¡orden!) isomórficos. Y casi todos los textos, que he mirado, lo señalan, sólo que sin pruebas.
¿Cómo se demuestra el isomorfismo? (Es evidente que como grupos son isomorfos, ya que forman $\mathbb{Q}$ -espacios vectoriales con la misma dimensión, pero aquí la estructura de orden juega un papel fundamental).
A lo sumo puedo mostrar, hay $\mathcal{G}, \mathcal{H}\subseteq\mathcal{P}(\mu)$ ultrafiltros y $\phi:G\to\prod_{\mu}H\ /\ \mathcal{H}$ y $\psi:H\to\prod_{\mu}G\ /\ \mathcal{G}$ monomorfismos (pero no incrustaciones de primer orden). Más en esta etapa, no. ¿Se puede, de alguna manera, a partir de estos construir una iso? ¿O es un camino equivocado?
Gracias de antemano.
EDIT: Había leído mal. La existencia de un isomorfismo se refiere sólo a grupos divisibles y totalmente ordenados. La afirmación real es simplemente, que los grupos son elementalmente equivalentes - y una prueba se me escapa en estos libros. ¿Podría alguien indicar una dirección correcta, cómo probar esto?
