Acotamiento de un operador lineal

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio lineal real normado de todas las secuencias reales que son eventualmente cero con la norma "sup" y $T:X \to X$ sea un operador lineal biyectivo definido por $$T(x_1,x_2,x_3,....)=\left(x_1,\frac{x_2}{2^2},\frac{x_3}{3^2},....\right)$$ Cómo comprobar si $T$ y $T^{-1}$ ¿está acotado o no?

$$\left\lVert Tx\right\rVert=\sup \Big\{\vert x_1 \vert,\frac{\vert x_2 \vert}{2^2},...\Big\}=\sup_n\Big\{\frac{\vert x_n \vert}{n^2}\Big\} \leq \sup_n\Big\{\frac{\vert x_n \vert}{n}\Big\}$$

Cómo hacer el RHS de arriba en la forma $K \vert\vert x \vert \vert$ ¿Si es posible? ¿Alguna pista?

Por otro lado, $T^{-1}:X \to X$ es un mapa por $$T^{-1}(x_1.x_2,...)=(x_1,2^2x_2,3^2x_3,...)$$

$$\left\lVert T^{-1}x\right\rVert=\sup_n\Big\{n^2 \vert x_n \vert\Big\} \geq n$$ así que $T^{-1}$ no está acotado. ¿Estoy en lo cierto? ¿Alguna ayuda?

Answer 1

1. $\sup_n \{\frac{|x_n|}{n}\} \le \sup_n\{|x_n|\} =||x||.$
2. Sus consideraciones sobre $T^{-1}$ son correctos.