Cómo demostrar el límite de "la exponencial de una secuencia"

Question

Así que dada una secuencia convergente $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ con límite $a$ Me gustaría demostrar que

$$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{a_n}{n}\right)^n=e^a.\quad(1)$$

Sabiendo que $e$ se define por

$$e=\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n,$$

la relación en $(1)$ ciertamente no es poco intuitivo, y además es muy útil, pero ¿cómo lo pruebo?

En el caso de una secuencia constante $a_n=k\;\forall n$ es bastante sencillo, ya que se puede escribir

$$\left(1+\frac{k}{n}\right)^n=\exp\left[\log\left(\left(1+\frac{k}{n}\right)^n\right)\right]=\exp\left[n\log\left(1+\frac{k}{n}\right)\right]=\exp\left[\frac{\log\left(1+\frac{k}{n}\right)}{1/n}\right]$$

y luego tomando el límite se puede aplicar la regla de L'Hôpital para diferenciar el numerador y el denominador por separado y luego obtener el resultado después de algunas manipulaciones. Pero como $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \log\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)=\frac{xf'(x)-f(x)}{xf(x)+x²}$$ Necesitaré saber la derivada $(a_n)'$ con respecto a $n$ de la secuencia, para utilizar este enfoque, que no está necesariamente bien definido. ¿Existe otra forma de hacerlo?

Answer 1

No hay nada nuevo aquí, pero quizás se ha racionalizado un poco: Aplicar $\ln$ para conseguir $$(1)\,\,\,\,n\ln (1+a_n/n)=\frac{\ln (1+a_n/n)}{a_n/n}\cdot a_n.$$ Ahora como $h\to 0,$ $\ln(1+h)/h = (\ln(1+h)-\ln 1)/h \to \ln'(1) = 1\,$ por definición de la derivada. Se deduce que el límite en (1) es $a.$ Exponenciando hacia atrás se obtiene el límite de $e^a$ como se desee.