Mostrando $S^{-1}(M \otimes_{A} N) \cong S^{1}M \otimes_{S^{-1}A} S^{-1}N$

Question

Una de las proposiciones del Álgebra Conmutativa de Atiyah-MacDonald dice $$S^{-1}(M \otimes_{A} N) \cong S^{-1}M \otimes_{S^{-1}A} S^{-1}N.$$ La prueba en el texto dice que hay que usar esa $S^{-1}A \otimes_{A} M \cong S^{-1}M$ y propiedades del producto tensorial.

He intentado escribir la prueba yo mismo, pero hasta ahora lo único que he podido mostrar es lo siguiente

$$S^{1}(M \otimes_{A} N) \cong S^{-1}A \otimes_{A}( M \otimes_{A} N)$$

desde donde tenemos $$S^{-1}A \otimes_{A}( M \otimes_{A} N) \cong (S^{-1}A \otimes_{A} M )\otimes_{A} N \cong S^{-1}M \otimes_{A} N.$$

Debo decir que estoy atascado en este punto.

Answer 1

Nota: si $A \to B$ es una extensión del anillo y $M$ y $N$ son $A$ -módulos entonces $$B\otimes_A(M \otimes_A N) \simeq (B \otimes_A M) \otimes_B (B \otimes_A N).$$ Se puede demostrar esto con bastante facilidad simplemente escribiendo mapas obvios en ambas direcciones y mostrando que están bien definidos y son inversos.