El principal problema (al menos para mí) es demostrar que la suma de las series $$ f_\alpha(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\sin kx}{k^\alpha},\quad x\in[0,2\pi] $$ es discontinuo para $\alpha\in(0,1]$ .
Lema 1. Para $\alpha\in(0,1]$ tenemos $$ \sum\limits_{k=1}^\infty\int\limits_{k-1/2}^{k+1/2}\frac{\sin(xt)}{k^\alpha}dt= \int\limits_{1/2}^\infty\frac{\sin(xt)}{t^\alpha}dt+\varphi(x) $$ donde $|\varphi(x)|\leq 2^{1-\alpha}$ para todos $x\in[0,2\pi]$ .
Prueba. Basta con demostrar que la diferencia entre esta suma y esta integral está acotada por alguna constante. Ahora, hacemos la estimación $$ \left|\sum\limits_{k=1}^\infty\int\limits_{k-1/2}^{k+1/2}\frac{\sin(xt)}{k^\alpha}dt- \int\limits_{1/2}^\infty\frac{\sin(xt)}{t^\alpha}dt\right|= \left|\sum\limits_{k=1}^\infty\int\limits_{k-1/2}^{k+1/2}\left(\frac{\sin(xt)}{k^\alpha}- \frac{\sin(xt)}{t^\alpha}\right)dt\right|\leq $$ $$ \sum\limits_{k=1}^\infty\int\limits_{k-1/2}^{k+1/2}|\sin(xt)|\left|\frac{1}{k^\alpha}-\frac{1}{t^\alpha}\right|dt\leq \sum\limits_{k=1}^\infty\int\limits_{k-1/2}^{k+1/2}\left|\frac{1}{k^\alpha}-\frac{1}{t^\alpha}\right|dt= $$ $$ \sum\limits_{k=1}^\infty\left(\int\limits_{k-1/2}^{k}\left(\frac{1}{t^\alpha}-\frac{1}{k^\alpha}\right)dt+\int\limits_{k}^{k+1/2}\left(\frac{1}{k^\alpha}-\frac{1}{t^\alpha}\right)dt\right)= \sum\limits_{k=1}^\infty\left(\int\limits_{k-1/2}^{k}\frac{1}{t^\alpha}dt-\int\limits_{k}^{k+1/2}\frac{1}{t^\alpha}dt\right)\leq $$ $$ \sum\limits_{k=1}^\infty\left(\int\limits_{k-1/2}^{k}\frac{1}{(k-1/2)^\alpha}dt-\int\limits_{k}^{k+1/2}\frac{1}{(k+1/2)^\alpha}dt\right)\leq \sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{2(k-1/2)^\alpha}-\frac{1}{2(k+1/2)^\alpha}\right)=2^{\alpha-1} $$
Lema 2. Para $\alpha\in(0,1]$ tenemos $$ \sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\sin kx}{k^\alpha}= \frac{x^\alpha}{2\sin(x/2)}\int\limits_{x/2}^\infty\frac{\sin y}{y^\alpha}+\frac{x\varphi(x)}{2\sin(x/2)} $$ donde $|\varphi(x)|\leq 2^{1-\alpha}$ para todos $x\in[0,2\pi]$ .
Prueba. Tenga en cuenta que $$ \int\limits_{k-1/2}^{k+1/2}\sin(xt)dt= -\frac{1}{x}\cos(xt)\biggl|_{k-1/2}^{k+1/2}= \frac{2\sin(kx)\sin(x/2)}{x} $$ Así que.., $$ \sin(kx)=\frac{x}{2\sin(x/2)}\int\limits_{k-1/2}^{k+1/2}\sin(xt)dt $$ Por lo tanto, del lema 1 concluimos que $$ \sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\sin kx}{k^\alpha}= \sum\limits_{k=1}^\infty\frac{x}{2k^\alpha\sin(x/2)}\int\limits_{k-1/2}^{k+1/2}\sin(xt)dt= \frac{x}{2\sin(x/2)}\sum\limits_{k=1}^\infty\int\limits_{k-1/2}^{k+1/2}\frac{\sin(xt)}{k^\alpha}dt= $$ $$ \frac{x}{2\sin(x/2)}\left(\int\limits_{1/2}^\infty\frac{\sin(xt)}{t^\alpha}dt+\varphi(x) \right) $$ Hacer la sustitución $y=tx$ obtenemos $$ \sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\sin kx}{k^\alpha}= \frac{x}{2\sin(x/2)}\left(\frac{1}{x^{1-\alpha}}\int\limits_{x/2}^\infty\frac{\sin y}{y^\alpha}dy+\varphi(x) \right)= \frac{x^\alpha}{2\sin(x/2)}\int\limits_{x/2}^\infty\frac{\sin y}{y^\alpha}dy+\frac{x\varphi(x)}{2\sin(x/2)} $$
Corolario 3. Para $\alpha\in(0,1]$ la función $f_\alpha$ es discontinuo en $0$ .
Prueba. Obviamente $f_\alpha(0)=0$ . Sea $\alpha\in(0,1)$ , entonces a partir de la fórmula demostrada en el lema 2 vemos que $$ \lim\limits_{x\to +0}f_\alpha(x)=\lim\limits_{x\to +0}\left(\frac{x^\alpha}{2\sin(x/2)}\int\limits_{x/2}^\infty\frac{\sin y}{y^\alpha}dy+\frac{x\varphi(x)}{2\sin(x/2)}\right) $$ Desde $\varphi$ está acotado entonces el segundo término está acotado mientras que el primero tiende a infinito. Por lo tanto, el último límite es $\lim\limits_{x\to +0}f_\alpha(x)=+\infty$ .
Si $\alpha=1$ entonces $|\varphi(x)|\leq 1$ y como $$ \lim\limits_{x\to+0}\frac{x}{2\sin(x/2)}=1, $$ entonces $$ \left|\frac{x\varphi(x)}{2\sin(x/2)}\right|<\frac{\pi}{3} $$ para algunos $\delta_1>0$ y $x\in(0,\delta_1)$ . Desde $$ \lim\limits_{x\to+0}\frac{x}{2\sin(x/2)}\int\limits_{x/2}^\infty\frac{\sin y}{y}dy= \int\limits_{0}^\infty\frac{\sin y}{y}dy=\frac{\pi}{2} $$ entonces $$ \frac{x}{2\sin(x/2)}\int\limits_{x/2}^\infty\frac{\sin y}{y}dy>\frac{2\pi}{5} $$ para algunos $\delta_2>0$ y todos $x\in(0,\delta_2)$ . Así, para todos los $x\in(0,\min(\delta_1,\delta_2))$ vemos que $$ f_\alpha(x)=\frac{x^\alpha}{2\sin(x/2)}\int\limits_{x/2}^\infty\frac{\sin y}{y^\alpha}dy+\frac{x\varphi(x)}{2\sin(x/2)}>\frac{2\pi}{5}-\frac{\pi}{3}>0 $$
En ambos casos $\lim\limits_{x\to+0}f_\alpha(x)\neq 0$ . por lo tanto $f_\alpha$ es discontinuo en $0$ .
Corolario 4. Para $\alpha\in(0,1]$ la serie $$ \sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\sin kx}{k^\alpha} $$ no converge uniformemente en $[0,2\pi]$ .
Prueba. Supongamos que esta serie converge uniformemente. Como esta serie es la suma de funciones continuas y su convergencia es uniforme, entonces su suma $f_\alpha$ debe ser una función continua en $[0,2\pi]$ . Esto contradice el coralario 3, por lo que nuestra serie no es uniformemente convergente en $[0,2\pi]$ .
Observación 5. A pesar de lo anterior, esta serie converge uniformemente en $[\delta,2\pi-\delta]$ para todos $\delta\in(0,\pi]$ . Puede utilizar Prueba de Dirichlet para demostrarlo.
