Cálculo de $\lim_{x\to2^+}\frac{3x}{\ln(x-2)}$

Question

Estoy tratando de entender los límites con logaritmos naturales:

$$\lim_{x\to2^+}\frac{3x}{\ln(x-2)}$$

Considera que $2^+$ es un "número ligeramente mayor que $2$ ":

$$2^+ > 2$$

Así que tenemos que

$$2^+-2 = 0^+$$

Es decir, un número ligeramente mayor que $0$ .

Como tenemos un número mayor que $0$ pero evidentemente inferior a $1$ el logaritmo natural dará como resultado un valor negativo. ¿Qué ocurre cuanto más nos acercamos a $0$ de la derecha? El número negativo es cada vez más negativo. En otras palabras: $-\infty$ .

Así que tenemos que

$$\frac{3\cdot2^+}{-\infty} = \frac{6}{-\infty} = 0$$

Como cualquier número dividido por $+\infty$ o $-\infty$ será $0$ .

¿Es esto correcto?

Answer 1

El razonamiento heurístico del PO está bien. Pensé que podría ser instructivo ver un enfoque riguroso para demostrar que el límite es realmente $0$ .

Tenga en cuenta que para $2<x<3$ tenemos

$$\left|\frac{3x}{\log(x-2)}\right|<\frac{9}{-\log(x-2)}$$

Ahora, dado cualquier número $\epsilon>0$ ,

$$\frac{9}{-\log(x-2)}<\epsilon$$

siempre que $0<x-2<e^{-9/\epsilon}$ .

Por lo tanto, tenemos que dado cualquier $\epsilon>0$

$$\left|\frac{3x}{\log(x-2)}\right|<\epsilon$$

siempre que $0<x-2<\delta=\min\left(1,e^{-9/\epsilon}\right)$ . ¡Y esto completa la prueba!