Dejemos que $R$ sea el sistema de raíces de un álgebra de Lie compleja simple $g$ con respecto a alguna subálgebra de Cartan $h$ . Chevalley demostró que hay una base de $g$ dada por las corotas simples { $H_{\alpha_i}=\alpha_i^\vee\in h$ } y vectores raíz $X_\alpha\in g_\alpha$ para cada $\alpha\in R$ . Esta base tiene las siguientes propiedades:
$[H_{\alpha_i},H_{\alpha_j}]=0$
$[H_{\alpha_i},X_\beta]=\beta(H_{\alpha_i})X_\beta$
$[X_{\alpha},X_{-\alpha}]=H_\alpha=\alpha^\vee\in h$
( $\ast$ ) $[X_\alpha,X_\beta]=\pm(p+1)X_{\alpha+\beta}$ cuando $\alpha+\beta\in R$ y $p$ es el mayor número entero positivo tal que $\beta-p\alpha\in R$ . En caso contrario, si $\alpha+\beta$ no es una raíz, entonces el paréntesis es cero.
Las referencias para esto se pueden encontrar en el libro de Serre sobre álgebras de Lie complejas semisimples o en el libro de Humphrey o en Wikipedia.
¿Alguien conoce una forma sencilla de determinar el signo $\pm$ en la cuarta propiedad ( $\ast$ )?
No puedo encontrar una referencia y mi francés no es bueno, así que leer las obras originales de Chevalley y Tits no es una opción viable. En particular, necesito encontrar una convención de signos que funcione para $g$ de tipo $F_4$ .
Muchas gracias.
