Encontrar todos los números cuadrados $n$ tal que $f(n)$ es un número cuadrado

Question

Encuentra todos los números cuadrados $n$ tal que $ f(n)=n^3+2n^2+2n+4$ también es un cuadrado perfecto.

Lo he intentado pero no sé cómo proceder después de factorizar $f(n)$ en $(n+2)(n^2+2)$ . Por favor, ayúdenme.

Gracias.

Answer 1

Su factorización parece difícil de resolver.

En su lugar, diga $n=t^2$ .

Si $t>1$ , tenga en cuenta que $f(t^2)=t^6+2t^4+2t^2+4$ y que $(t^3+t+1)^2=t^6+2t^4+t^2+2t^3+2t+1>f(t^2) >t^6+2t^4+t^2=(t^3+t)^2$ (ya que $2t^3-t^2+2t-3>0$ de aquí )

Si $t<-1$ , tenga en cuenta que $(t^3+t-1)^2=t^6+2t^4+t^2-2t^3-2t+1>f(t^2) >t^6+2t^4+t^2=(t^3+t)^2$ (ya que $-2t^3-t^2-2t-3>0$ de aquí )

Así que $t=-1,0,1$ .

Answer 2

Como has factorizado los dos factores deben ser iguales ya que debe ser un número cuadrado:

$$n+2=n^2+2$$

Así que $n^2-n=0$ . Sólo soluciones $n=0$ y $n=1$