Suma del cuadrado de los coeficientes de un polinomio cuando el módulo de las raíces es menor que uno

Question

Dejemos que $P(x) = x^p + a_1x^{p-1}+ a_2x^{p-2}+\dots + a_{p-1}x+ a_p$ con raíces de módulo inferior a 1.

¿Podemos demostrar que \begin{equation} a_1^2 +a_2^2 + \dots +a_p^2 < 1? \end{equation}

Alguna pista para probar o refutar esta afirmación.

Answer 1

Esto es obviamente falso. Tome $P(x)=(x-0.8)^2=x^2-1.6x+0.64$ entonces $a_1^2+a_2^2>1$ porque $|a_1|=1.6>1$ .