Como sabemos, según la identidad multiplicativa 2 a la potencia de 3 significa, 1*2*2*2=8;¿pero por qué 2 a la potencia -3 es igual a 1/8, si creo que es la inversa de la identidad multiplicativa entonces de dónde viene 1? No quiero solo una prueba matemática, sino también la historia intuitiva detrás de esto. ¿Por qué se convierte en una fracción y también por qué es una fracción positiva? ¿Por qué se desvanece el signo menos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Diga $x > 0$ y $a \in \mathbb R$ . Para mí la intuición más fácil es esta: $$x^a x^{-a} = x^{a+(-a)} = x^0 = 1$$ pero también $$\frac{x^a}{x^a} =1.$$ Igualando los dos, vemos $$x^{a}x^{-a} = \frac{x^a}{x^a}$$ y luego podemos dividir por $x^a$ en ambos lados para ver $$x^{-a} = \frac 1 {x^a}.$$ Por supuesto, este tipo de argumentos son esencialmente circulares. Se trata más bien de una convención de definición. Cada número real posivito $x$ tiene un número positivo correspondiente que, cuando se multiplica por $x$ da la identidad multiplicativa: $1$ . Denotamos este número correspondiente por $x^{-1}$ para indicar que invierte $x$ . Entonces, cuando escribimos $x^{-a}$ para algún número $a$ por definición, nos referimos a la inversa de $x$ elevado a la $a$ poder. Es decir $x^{-a} := (x^{-1})^a$ .
Andy
Puntos
21
Cuando se empieza con la aritmética, primero se cuenta, luego se suman los números positivos y después se repite la suma, que es la multiplicación. Hay formas obvias en el mundo real de dar significado a estas expresiones en términos de conteo de objetos cuando las operaciones involucran números enteros positivos. Si se escribe $n*m=m+m+\ldots +m$ donde ha añadido $m$ a sí mismo $n$ veces, entonces se puede ampliar la fórmula a cuando $m$ no es un número entero positivo. Pero en este caso, lo que es $m*n$ cuando $m$ no es un número entero positivo? O cuando ninguno de los dos $m$ ni $n$ ¿lo son?
En este punto, estas expresiones no tienen ningún significado, y tienes que decidir cómo quieres darles sentido. Lo que los matemáticos han descubierto es que hay que buscar las propiedades que se mantienen en el caso familiar, declarar que cualquier extensión razonable seguirá teniendo estas propiedades, y utilizar estas propiedades para definir lo que ocurre en el caso no familiar.
Así que con la multiplicación, tenemos que $x(y+z)=xy+xz$ , $xy=yx$ , $x(yz)=(xy)z$ y $1*x=x*1=x$ Y la pregunta es: ¿podemos extender la multiplicación a los números negativos/racionales/reales/complejos manteniendo estas propiedades?
Desde $0+a=a$ , $xy=x(0+y)=x*0+xy$ y restando $xy$ de ambos lados, tenemos $x*0=0$ . Por lo tanto, si queremos extender la multiplicación a $0$ Debemos tener que $x*0=0$ . Del mismo modo, ya que $x+(-x)=0$ podemos multiplicar $0=y(x+(-x))=yx+y(-x)$ y así $y(-x)=-yx$ . Así que si podemos extender la multiplicación y seguir teniendo la propiedad distributiva, obliga a que los resultados sean los que (ahora) conocemos. Es un poco de trabajo para asegurarse de que todas las otras propiedades todavía se mantienen.
Esto nos lleva a su pregunta en particular. ¿Qué debería $x^{-n}$ ¿ser? Si $m,n>0$ tenemos $x^{m+n}=x^m x^n$ y por eso nos preguntamos: "¿Podemos dar sentido a $x^0$ y $x^{-n}$ de manera que esta propiedad se siga manteniendo?
Desde $0+n=n$ , querríamos $x^n=x^{0+n}=x^0x^n$ y dividiendo ambos lados por $x^n$ (suponiendo que sea distinto de cero, lo que ocurre cuando $x\neq 0$ ), que nos da $x^0=1$ . De la misma manera, $1=x^0=x^{n+(-n)}=x^nx^{-n}$ y dividiendo por $x^n$ tenemos $x^{-n}=1/x^n$ . Por lo tanto, asumiendo que nuestra propiedad de exponenciación sigue manteniéndose, así es como debemos extender la exponenciación a los exponentes negativos. Por supuesto, hay más trabajo para asegurarse de que esta definición realmente funciona.
Entonces, ¿por qué se define así? Porque descubrimos propiedades útiles en el caso de que todo fuera un número positivo, y queríamos que nuestra extensión siguiera teniendo estas propiedades. Por supuesto, esto tiene sus límites. Por ejemplo, no se pueden utilizar las propiedades básicas para dar sentido a $(-8)^{\pi}$ de forma razonable y sin ambigüedades. Como he mencionado anteriormente, después de utilizar las propiedades para llegar a una posible definición, tenemos que asegurarnos de que funciona, y simplemente no lo hace para algunos tipos de exponentes. Pero cuando funciona, la utilizamos con gusto.
