Dominio de los reales: otra Q de bajo nivel

Question

Para ser precisos, dejemos que el forzamiento dominante $D$ consiste en todos los pares $(m,f)$ , donde $m<\omega$ y $f\in\omega^\omega$ , con la orden $(m,f)\le(m',f')$ ( $(m',f')$ es más fuerte) si $m\le m'$ , $f(k)\le f'(k)$ para todos $k$ y $f'|m=f|m$ .

Supongamos que $a\in\omega^\omega$ es dominante-genérico sobre un MC $M$ (es decir, ( $M\cap D$ )-genérica) y $b\in\omega^\omega$ es dominante-genérica sobre $M[a]$ (es decir, ( $M[a]\cap D$ )-genérica).

Q1. ¿Es $b$ entonces dominante-genérica sobre $M$ un submodelo de $M[a]$ ?

A1. Sí.

Q2. ¿Es cierto que $a\in M[b]$ ?

A2. No, y de hecho $M[b]\cap M[a]=M$ .

Q3, motivado por A2. Es $a$ de ninguna manera genérica sobre $M[b]$ ?

A3. IDK, y sorprendentemente esta Q no parece ser fácil.

Q4. Claramente $a+b$ (adición por términos) es genérico sobre $M[a]$ . ¿Es cierto que $M[a+b]\cap M[b]=M$ ? O más débil, $M[a+b]\cap M[b]\cap2^\omega\subseteq M$ ?

A4. IDK, lo mismo.

Answer 1

En cuanto a la pregunta 3, es un hecho general y no trivial que si $M\subseteq M[G]$ es cualquier extensión forzada y $N$ es un modelo transitivo intermedio de ZFC, con $M\subseteq N\subseteq M[G]$ entonces $N$ es una extensión forzada de $M$ y $M[G]$ es una extensión forzada de $N$ . Esto se demuestra, por ejemplo, en el corolario 15.43 del libro de Jech (véase también el dato 11 de mi artículo, Geología teórica de conjuntos donde damos una prueba).

En tu caso, tienes la iteración de forzado en dos pasos $M\subseteq M[a][b]$ que tiene $M[b]$ como modelo intermedio. Así que $a$ es definitivamente genérico sobre $M[b]$ y el forzamiento es un cociente del forzamiento de dos pasos que da lugar a $a*b$ .

Answer 2

Q4 se resuelve en positivo: $M[a+b]\cap M[b]\cap 2^\omega\subseteq M$ . Un punto de insatisfacción es que la forma más natural de establecer el resultado, es decir, demostrar que $(a+b,b)$ es $(D\times D)$ -genérico (producto-genérico) sobre $M$ sigue sin pasar. OOps - esto falla porque si $(a+b,b)$ es $(D\times D)$ -generico entonces $a=(a+b)-b$ es genérico de Cohen, en contra de la elección de $a$ .

Por cierto, el resultado $M[a+b]\cap M[b]\cap 2^\omega\subseteq M$ es un lema clave en mi demostración de que es cierto en la extensión genérica dominante que todo conjunto OD contable de reales está formado por reales OD , arxived http://arxiv.org/abs/1609.01032 .