Integral impropia diverge

Question

Sea una función real-valued $f$ continua en [0,1] de $.$ entonces existe un número $a$ tales que el integral \int_0^1\frac $$1 {|f (x)-a|} \, dx$$ diverge. ¿Cómo demostrar esa afirmación?

Answer 1

He aquí una prueba de que $\int_0^1\frac1{\lvert f(x)-\rvert}dx = \infty$ para todo $a$ en la imagen de $f$ y fuera de un escaso conjunto. En particular, si $f$ no es constante, entonces hay una cantidad no numerable de tal $a$ en cada barrio de la imagen de $f$. [Nota: también estoy de acuerdo en que user72694 la prueba funciona bien, y es completamente independiente de la prueba que yo voy a dar aquí.]

En primer lugar, defina $g(a)$ a ser la integral dada, y dejar $[a_0,a_1]$ ser la imagen de $f$. Suponiendo que $f$ no es constante, tenemos $a_0 < a_1$. Dejando de $b_0 < b_1$ en $[a_0,a_1]$ entonces el teorema de Fubini da, $$\int_{b_0}^{b_1}g(a)\,da= \int_{b_0}^{b_1}\!\!\!\int_0^1\frac1{\lvert f(x)-\rvert}\,dxda =\int_0^1\!\!\!\int_{b_0}^{b_1}\frac1{\lvert f(x)-\rvert}\,dadx=\infty.$$ Aquí, la integral de $1/\lvert f(x)-\rvert$ respecto $a$ es infinito siempre que $f(x)$ en $[b_0,b_1]$ (porque $1/$ x no es integrable en el origen), que pasa de $x$ en un intervalo no trivial, por lo que la integral doble es infinito. Esto significa que $g$ no es integrable (y, por lo tanto, es ilimitado) en cualquier intervalo no trivial $[b_0,b_1]$ en la imagen de $f$.

Siguiente, por cada $K > 0$, $S_K=\lbrace un\in[a_0,a_1]\colon g(a) > K\rbrace$. $G$ es ilimitado en el barrio de cualquier punto, el conjunto $S_K$ es denso en $[a_0,a_1]$. Además, $S_K$ es abierto para cada uno positivo de $K$. Para ver esto, observe que $g_n(a)\equiv\int_0^11_{\lbrace\lvert f(x)-\rvert > 1/n\rbrace}/\lvert f(x)-\rvert dx$ es una secuencia de funciones continuas, aumentando a $g$, entonces $g$ es semicontinua inferior.

Por lo tanto, tenemos $$\left\lbrace un\in[a_0,a_1]\colon g(a)=\infty\right\rbrace=\bigcap_{n=1}^\infty S_n,$$ que es una contables intersección de la densa abrir establece en $[a_0,a_1]$ así que, por definición, su complemento es escasa.

Answer 2

Tomar un no decreciente reordenamiento $r(x)$ de la función $f(x)$ (algunos discusión de esto puede ser encontrado en http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_conjugate). Este consiste en encontrar una medida de preservación de la transformación del intervalo $[0,1]$ que transforma $f$ en $r$. En particular, su integrales $\int_0^1\frac 1 {|f(x) -|}\, dx$ se conservan (por cada$$). Ahora aplique el resultado de que cada monotonía de la función es una.e. diferenciable (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function). Tomar un punto $p$ donde la función $r$ es derivable. Entonces $a=r(p)$ hace el truco, porque $r(x)-$ puede ser limitado en términos de una expresión lineal.

Tenga en cuenta que la existencia de un no decreciente reordenamiento de una función $f$, admite una elegante prueba en el contexto de su verdadera extensión $^\estrellas f$, lo que vamos a seguir para denotar por $f$. Es decir, tomar una infinita hypernatural $H$ y considerar una partición de la hyperreal intervalo $[0,1]$ en $H$ de los segmentos, por medio de la partición de puntos de $0, \frac{1}{H}, \frac{2}{H}, \frac{3}{H}, \ldots, \frac{H-1}{H}, 1$. Ahora reorganizar los valores de $f(\frac{i}{H})$ de la función de partición de los puntos en orden creciente, y permutar la $H$ segmentos en consecuencia. La norma parte de la resultante a la función deseada es la monotonía de la función $r$.

Nota 1. Debo señalar que uno realmente no necesita usar el resultado de que la monotonía de las funciones son una.e. diferenciable. Considerar el casco convexo de la gráfica de $r(x)$, y tomar un punto donde la gráfica toca el límite de la convex hull (otro de los extremos de 0 y 1). La configuración de $un$ igual a la $x$coordenada del punto que hace el trabajo.

Answer 3

El Diablo de la escalera es un contraejemplo. Cuando la integral definida, converge. Por ejemplo, en 0, el Diablo de la escalera es de aproximadamente entre $(C_1 x)^{\frac{\ln 2}{\ln 3}}$ y $(C_2 x)^{\frac{\ln 2}{\ln 3}}$ (las curvas de la conexión de la izquierda extremos de los intervalos y derecho extremos, respectivamente), y para que la integral converge si $a=0$. Cerca de cualquier otro punto donde la integral definida la integral converge, ya que el conjunto es auto-similar, por lo que todos estos puntos son como 0.

Todo esto está en el Capítulo cuatro de Frank Jones' Lebesgue integración del libro, así como las páginas 521.