¿Por qué no es esto una violación del teorema de Stokes?

Question

Consideremos la forma única $\alpha = \frac{xdy-ydx}{x^2 + y^2}$ en $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ . Sea $i: S^1 \to \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ sea la inclusión.

Calcula $\int_{S^1} i^*\alpha$ . ¿Existe $f \in C^\infty(\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\})$ tal que $df = \alpha$ . Demostrar que $d \alpha = 0$ y explique por qué la combinación con la de Stokes de Stokes no da lugar a una contradicción.

Intento:

Denotemos la esfera unitaria con frontera por $D$ . Entonces

$$\int_{S^1} i^*\alpha = \int_{S^1}i^{*}(xdy-ydx)= \int_D dx \land dy - dy \land dx = 2 \int_D dx \land dy = 2 \pi$$ donde se utilizó el teorema de Stokes. No existe un $f$ con $df = \alpha$ . No estoy del todo seguro de cómo puedo demostrar esto formalmente. Esto implicaría que $\partial f/\partial x = 1/2\ln(x^2 + y^2)$ e integrando obtenemos algo como $f(x,y) = 1/2\ln(x^2 + y^2)c(y)+ d(y)$ y gueuss el $\ln$ es problemático.

Además, pude demostrar que $d \alpha = 0$ con un cálculo directo, pero no veo por qué no lo hace el teorema de Stokes.

EDIT: ¿El problema es el siguiente? Si uno es ingenuo, diría que

$$\int_{S^1} i^* \alpha = \int_Dd \alpha$$

pero esto no tiene sentido porque $\alpha$ ¡no está definida en el origen!

¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Basándome en la primera parte del problema, supongo que quieren que digas: Si existiera tal $f$ Entonces tendrías $$\int_{S^1} i^*\alpha = \int_{S^1} i^* df = \int_{S^1} di^*f = \int_{\partial S^1 =\varnothing} i^*f = 0$$ por el teorema de Stokes, pero acabas de calcular que esta integral no es 0.