Dejemos que $z_1,z_2$ sean números complejos con $|z_1|=|z_2|=1$ . Demostrar que $|z_1 + 1| + |z_2 + 1| + |z_1z_2 + 1| \geq 2$

Question

Dejemos que $z_1,z_2$ sean números complejos con $|z_1|=|z_2|=1$ . Pruébalo :- $$|z_1 + 1| + |z_2 + 1| + |z_1z_2 + 1| \geq 2$$

Lo que he probado :- De la desigualdad del triángulo, tenemos :-

$$|z_1 + 1| + |z_2 + 1| + |z_1z_2 + 1| \geq |(1 + z_1)(1 + z_2) + 2|$$

A partir de aquí, no se me ocurrió ninguna otra idea concreta. Todavía no utilicé el hecho, $|z_1| = |z_2| = 1$ Así que, a partir de la desigualdad triangular de nuevo, obtenemos :-

$$|z_1 + 1| + |z_2 + 1| \leq 4$$

El $2$ Las ecuaciones parecen muy similares, pero no he podido conectarlas bien.

¿Puede alguien ayudarme? Gracias.

Se preferirán las soluciones algebraicas a las geométricas.

Answer 1

Dejemos que $z_1=\cos\alpha+i\sin\alpha$ y $z_2=\cos\beta+i\sin\beta$ .

Por lo tanto, tenemos que probar que $$|\cos\frac{\alpha}{2}|+|\cos\frac{\beta}{2}|+|\cos\frac{\alpha+\beta}{2}|\geq1,$$ para lo cual basta con demostrar que $$\cos\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\beta}{2}-\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\geq1,$$ donde $\alpha$ y $\beta$ en $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ o $$\cos\frac{\alpha-\beta}{4}\geq\cos\frac{\alpha+\beta}{4},$$ lo cual es obvio.