Considere la métrica $d(x,y)=\sup\{\overline d(x_i,y_i)|i\in I\}$ en $X=\mathbb R^\omega$ donde $\overline d(x,y)=\min\{d(x,y),1\}$ es la métrica estándar acotada. Consideremos la topología inducida por esa métrica (la topología cuya base son todas las bolas abiertas en esta métrica). Estoy tratando de entender por qué el subconjunto de todas las secuencias acotadas es clopen con respecto a esta topología.
Para demostrar que es abierto, necesito demostrar que cualquier punto (cualquier secuencia acotada) tiene una vecindad (una unión de bolas abiertas que contienen el punto) que consiste enteramente en secuencias acotadas. No tengo ninguna intuición sobre cómo trabajar con esta vecindad o cómo imaginarla. Formalmente, como he dicho, es una unión de bolas, y la bola de radio $r$ centrado en $x$ es $$\{y\in X:d(x,y)< r\}=\{y\in X:\sup\{\overline d(x_i,y_i)|i\in I\} < r\}=\{y\in X: \overline d(x_i,y_i) < r \text{ for all } i\}$$ donde la última desigualdad se mantiene ya que si el supremum es menor que algo, entonces todos los elementos son menores que ese algo. Continuando con la secuencia de igualdades anterior, $$=\{y\in X:\min\{d(x_i,y_i),1\}< r \text{ for all } i\}$$
¿Cómo debo pensar en este balón? ¿Cómo puedo ver que alguna unión apropiada de tales bolas que contenga una secuencia acotada no puede contener secuencias no acotadas? ¿Cómo encontrar esa unión (debería ser sólo una bola centrada en la secuencia)? La parte de la cercanía tampoco está clara.
