Derivación de la fórmula de divergencia de un campo vectorial

Question

Supongamos un campo vectorial $\boldsymbol{V}=M(x,y)\boldsymbol{i}+N(x,y)\boldsymbol{j}$ La divergencia es entonces: $$\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial N}{\partial y}$$

Mi libro (cálculo de Thomas) lo explica utilizando un cuadrado en el plano x-y cuya área llega a cero, lo que es similar a esta respuesta ¿Cómo se llega a las fórmulas de la divergencia y el rizo? Siguiendo el mismo argumento, ¿por qué el cambio en la x Para N (es decir $N(x+\Delta x,y))$ ) a medida que nos movemos a lo largo del eje x no incluido, de forma similar para el cambio en y para M.

es decir, ¿por qué no se incluyen en la derivación de la fórmula de divergencia?

$$(-N(x,y)+N(x+\Delta x,y))\Delta x$$ y $$(-M(x,y)+M(x,y+\Delta y))\Delta y$$

Answer 1

Así, al rodear el pequeño rectángulo, el flujo es (aproximadamente) la suma de los $\mathbf V\cdot\mathbf n \Delta s$ contribuciones. Empezando por el borde inferior y procediendo en sentido contrario a las agujas del reloj, tenemos \begin{align*} \text{FLUX} &\approx\mathbf V\cdot (-\mathbf j) \Delta x + \mathbf V\cdot\mathbf i \Delta y + \mathbf V\cdot\mathbf j \Delta x + \mathbf V\cdot(-\mathbf i)\Delta y\\ &= -N(x,y)\Delta x + M(x+\Delta x,y)\Delta y + N(x,y+\Delta y)\Delta x + M(x,y)\Delta y \\&= \left(M(x+\Delta x,y)-M(x,y)\right)\Delta y + \left(N(x,y+\Delta y)-N(x,y)\right)\Delta x \\ &\approx \left(\frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y}\right)\Delta x\Delta y. \end{align*}

Los términos a los que te refieres no aparecen porque serían de orden superior en $\Delta x$ . A medida que nos movemos a lo largo del borde inferior, por supuesto $x$ es variable, pero esta variación desaparecerá en el límite. Por el teorema del valor intermedio para las integrales, el límite inferior será en realidad $-N(\xi,y)\Delta x$ para algunos $\xi$ satisfaciendo $x\le\xi\le x+\Delta x$ . Entonces lo aproximamos como $$-N(\xi,y)\Delta x \approx -\big(N(x,y)+\left(\frac{\partial N}{\partial x}\right)(\xi-x)\big)\Delta x.$$ Desde $\xi-x \le \Delta x$ este término aportará algo delimitado por $(\Delta x)^2$ . Si combinamos esto con el término correspondiente del borde superior, tendremos algo parecido a $$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial N}{\partial x}\right) (\Delta x)^2\Delta y,$$ y dichos términos desaparecerán en el límite cuando convirtamos a una integral doble.