¿Cómo juzgar rápidamente si una función es de inyección?

Question

$f$ y $g$ son biyección de $[0,1]$ a $[0,1]$ . ¿Cuáles de los siguientes son uno a uno (inyección) de $[0,1]$ a $[0,1]?

1. $f+g$
2. $f-g$
3. $f*g$
4. $\frac{1}{2}(f^2+g^2)$
5. $f \circ g$

I adivinar 1,2 y 5 son de inyección. ¿Es eso correcto? ¿Podría alguien decirme cómo juzgar rápidamente cuál es la inyección?

Gracias : )

Answer 1

5 es una inyección como la composición de dos inyecciones. El resto, en general, no son inyecciones. Para los contraejemplos se puede utilizar $f(x)=x$ y $g(x)=1-x$ o, en el caso 2, $f(x)=g(x)=x$ .

Answer 2

Siempre es una buena idea ver algunos ejemplos sencillos para intentar hacerse una idea de lo que ocurre. En (2), por ejemplo, ¿qué ocurre si $f=g$ ?

Por lo demás, ¿qué ocurre en (1)? Dado que $f=g$ es una biyección de $[0,1]$ a $[0,1]$ Debe haber algún tipo de $x\in[0,1]$ tal que $f(x)=g(x)=1$ para que $(f+g)(x)=2\notin[0,1]$ . Si eso no es suficiente $-$ después de todo, $f+g$ podría seguir siendo una biyección entre $[0,1]$ y un peu de set $-$ consideremos dos de las biyecciones más sencillas entre $[0,1]$ y a sí mismo: $f(x)=x$ y $g(x)=1-x$ . Con ese par se pueden resolver inmediatamente tanto (1) como (3), y con un poco más de reflexión, quizá ayudada por la observación de sus gráficos, se puede resolver también (4).

Sólo queda (5), y ya deberías saber que la composición de biyecciones es una biyección.