Propiedades del núcleo térmico 1-d

Question

Dejemos que $H$ sea el núcleo de calor unidimensional, es decir, la función $H(t,x,y)$ tal que el problema de Dirichlet $$ \begin{cases} u_t - u_{xx} = 0 & x\in(0,1) , t \in (0,\infty) \\ u(t,1) = u(t,0) =0 & t>0 \\ u(0,x) = f(x) \end{cases} $$ se resuelve con: $$ u(t,x) = \int_0^1 f(y) H(t,x,y) \mathrm{d}y $$ Pruébalo:

1. $H$ no es negativo
2. La integral de $H$ con respecto a $y$ es no creciente con respecto a $t$ .

Creo que estas propiedades de $H$ puede derivarse sin utilizar la representación explícita (serie sinusoidal de Fourier) de $H$ . Sin embargo, no estoy seguro de cómo derivar la primera (no he empezado con la segunda). ¿Alguien podría darme una pista (no busco una respuesta completa, al menos no en este momento)? Sé que $H$ resuelve por sí misma la ecuación del calor, pero no estoy del todo seguro de cómo utilizar esta propiedad, ya que al tomar las derivadas de $H$ sin utilizar la representación explícita parece ser una tarea ardua.

Answer 1

¿Sabe usted cómo probar que $f \geq 0$ implica $u \geq 0$ ? Si eso es cierto no importa la función continua $f$ que elijas, entonces puedes demostrar que $H(t,x,y) \geq 0$ independientemente de la elección de $(t,x,y)$ .

Answer 2

Para la segunda parte: tenemos $H_t = H_{yy}$ por lo que tenemos que $\frac{d}{dt}\int_{0}^{1}H = H_y(x,1,t)-H_y(x,0,t)$ . Ahora bien, como $H(x,1,t)=H(x,0,t)=0$ y $H$ es no negativo, se tienen mínimos en $y=1,y=0$ . Así, $H_y(x,1,t) \leq 0$ y $H_y(x,0,t)\geq 0$ . (Si no lo crees, mira $f(x) = -x(1-x)$ como ejemplo). El resultado es el siguiente.