comprobar la continuidad de la función de varias variables.

Question

Comprueba la continuidad de la función dada en el origen:

$$F(x,y)=\frac{\sin (x+y)}{x+y}$$

Si utilizamos la expansión del pecado y aplicamos el límite obtenemos que el límite es $1$ también si nos acercamos al límite a lo largo de cualquier línea que pase por el origen entonces de nuevo el límite es $1$ . Pero, sobre esta base no se puede concluir que la función es continua. Intenté resolver por la definición de épsilon-delta, pero no pude obtener la respuesta. Thnakx de antemano.

Answer 1

Dejemos que $$ h(t)=\begin{cases}\dfrac{\sin t}{t} & t\ne0,\\1 & t=0.\end{cases} $$ $h$ es continua (incluso analítica) en $\Bbb R$ . Entonces, cuando se define como $1$ en la línea $x+y=0$ , $$ F(x,y)=h(x+y). $$ $F$ también es continua porque es la composición de funciones continuas