Diferencia entre conjuntos cerrados, acotados y compactos

Question

En el análisis real, hay un teorema que establece que una secuencia acotada tiene una subsucesión convergente. Además, el límite se encuentra en el mismo conjunto que los elementos de la secuencia, si el conjunto es cerrado.

Luego, cuando se introducen espacios métricos, existe un teorema similar sobre subsucesiones convergentes, pero para conjuntos compactos. En este punto las cosas se vuelven un poco abstractas.

Entonces, ¿podría alguien explicar la diferencia entre conjuntos compactos, acotados y cerrados con ejemplos?

Answer 1

Lleve $X=(0,\infty)$ con la métrica usual.

• $[1,2]$ es un conjunto cerrado, acotado y compacto en $X$.
• $(0,1]$ es un conjunto cerrado y acotado en $X$, que no es compacto (por ejemplo, $(0,1]\subseteq\bigcup_n(1/n,2)$).
• $[1,\infty)$ es un conjunto cerrado, pero no acotado y no compacto en $X$.
• $(1,\infty)$ es un conjunto no acotado que no es ni cerrado ni compacto en $X$.
• $(1,2)$ no es ni cerrado ni acotado en $X$, y no es compacto.
• Ningún conjunto no acotado o no cerrado puede ser compacto en ningún espacio métrico.

Answer 2

Limitación

Parte del problema es que la acotación por sí misma es una propiedad casi inútil en el contexto de los espacios métricos.

Consideremos un espacio métrico $(X,d)$ y definir una nueva métrica $b$ en $X$ por

$\qquad\displaystyle b(x,y) := \min \{d(x,y),1\}$ .

Entonces $b$ y $d$ producirá exactamente los mismos conjuntos abiertos en $X$ pero cada subconjunto de $X$ está acotado con respecto a $b$ .

Ahora piensa en el teorema de Bolzano-Weierstraß: "Toda secuencia acotada (de números reales) tiene una subsecuencia de Cauchy" (*). Que una sucesión en un espacio métrico sea convegente o no depende sólo de los conjuntos abiertos del espacio. Por lo tanto, $(X,d)$ y $(X,b)$ tendrán las mismas secuencias convergentes. Además, cada secuencia en $X$ está acotado con respecto a $b$ .

Pero, ¿es necesariamente el caso de que toda secuencia en un espacio métrico arbitrario deba tener una subsecuencia de Cauchy? Evidentemente, no. Podemos tomar $x_n = n$ en los reales. Bonito y acotado con respecto a una métrica como la $b$ anterior, pero no tiene una subsecuencia de Cauchy con respecto a cualquier que produce los mismos conjuntos abiertos que la métrica habitual (porque si lo tuviera, entonces esa subsecuencia convergería).

Todo esto viene a decir que la acotación no es la forma correcta de especificar que " $(X,d)$ es un espacio métrico pequeño". En su lugar, hemos creado la noción de acotación total:

Un espacio métrico $(X,d)$ se dice que totalmente acotado cuando para cada $\varepsilon > 0$ existe un número finito de $x_1,\dotsc,x_n \in X$ tal que $X$ es la unión de las bolas de radio $\varepsilon$ alrededor del $x_i$ .

Para los números reales (y $\mathbb R^n$ ) resulta que tenemos la suerte de que la acotación con respecto a la métrica habitual y la acotación total son iguales.

¿Y cómo se relaciona la acotación total con el teorema de Bolzano-Weierstraß? Lo hace debido a la siguiente proposición:

Un espacio métrico $(X,d)$ está totalmente acotada si y sólo si toda secuencia contiene una subsecuencia de Cauchy.

En otras palabras, el teorema de Bolzano-Weierstraß en realidad sólo afirma que la acotación con respecto a la métrica habitual en $\mathbb R^n$ es lo mismo que la acotación total.

Dado que la acotación total implica la acotación, resulta muy razonable preguntarse por la inversa, por ejemplo

En algún espacio métrico particular $(X,d)$ donde sé algo sobre $d$ ¿bajo qué condiciones es un conjunto acotado $E \subseteq X$ ¿totalmente acotado? O más esquemáticamente:

Por ejemplo $d$ la delimitación + la seguridad $\implies$ la acotación total.

Esta es, por ejemplo, la cuestión que está en el origen de la Teorema de Arzelà-Ascoli y el Teorema de Kolmogorov-Riesz .

[*]: No es así como se expresa normalmente, pero los números reales son agradables en el sentido de que una secuencia de números reales converge si y sólo si es Cauchy, así que las dos formulaciones son equivalentes.

Cerrado

Es fácil demostrar que en un espacio métrico arbitrario $(X,d)$ que una secuencia es convergente implica que es Cauchy (con respecto a $d$ ). Y de nuevo nos preguntamos por la inversa. ¿Implica Cauchy convergencia? Si así fuera, estaríamos muy contentos. Porque entonces siempre que tengamos un espacio totalmente acotado y una sucesión en él, sabríamos que tiene una subsecuencia Cauchy y por tanto convergente.

Sabemos por nuestro estudio de los números reales que las secuencias de Cauchy en $\mathbb R$ son convergentes. Pero no tenemos la suerte de que esto se cumpla en espacios métricos arbitrarios. El ejemplo obvio y fácil es un intervalo abierto (totalmente) acotado como $(0,2)$ donde $(\tfrac1n)_{n\geq1}$ es una secuencia de Cauchy que no converge.

Pero -las inteligentes protestas estudiantiles- ¿acaso esa secuencia no converge a $0$ ?

Que más o menos lo hace, pero no está en el espacio considerado. Sin embargo, la objeción ilustra que no es un ejemplo ideal, por lo que me gustaría considerar en su lugar lo siguiente:

Comenzamos con el espacio $X = C[0,1]$ es decir, las funciones continuas de valor real sobre el intervalo unitario. Y sobre esto ponemos el $1$ -norma, es decir $\|f\|_1 := \int_0^1 |f(x)|\,dx$ . Y esto induce una métrica $d(f,g) = \|f-g\|_1 = \int_0^1 |f(x)-g(x)|\,dx$ .

A continuación consideramos una secuencia de funciones en $X$ dado por

$\qquad\displaystyle f_n(x) = \begin{cases} \frac1{\sqrt x} & \tfrac 1n \leq x \leq 1 \cr f(\tfrac1n) & 0 \leq x < \tfrac1n \end{cases}$

Puede que no sea inmediatamente obvio que esta secuencia es Cauchy con respecto a $d$ Así que se podría tomar como un ejercicio para verificar que lo es.

Pero es mucho más interesante preguntarse a qué converge. En cierto sentido, converge puntualmente a

$\qquad\displaystyle f(x) = \begin{cases} \infty & x = 0 \cr \tfrac1{\sqrt x} & 0 < x \leq 1\end{cases}$

Evidentemente, esto es una tontería porque " $\infty$ " no es un número. Pero si ignoramos cualquier valor $f$ tiene en $0$ también tenemos que $f-f_n \to 0$ por ejemplo $d$ es decir, que parece $f_n \to f$ en $(X,d)$ .

Excepto $f$ no puede estar en $X$ . Por ejemplo, ya que todas las funciones continuas sobre un intervalo cerrado y acotado tienen rango acotado.

Entonces, ¿qué fue lo que salió mal? Parece que $(f_n)_{n\geq 1}$ debería converger. Incluso tenemos un candidato para el límite, pero no cabe en nuestro espacio.

La triste noticia es que no hay mucho que podamos hacer. Algunos espacios métricos tienen la propiedad de que las secuencias de Cauchy convergen y esos son bonitos y los llamamos completa . La palabra parece sugerir que "todos los límites de las secuencias de Cauchy que deberían estar ahí, están ahí", lo que no es una imagen totalmente errónea.

Esto se puede ilustrar con el siguiente resultado estándar:

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico. Los siguientes son equivalentes

• $(X,d)$ está completo.
• (Propiedad de conjunto anidado) Cualquier secuencia decreciente de conjuntos cerrados $F_1 \supseteq F_2 \supseteq \dotsb$ en $X$ con $\operatorname{diam}(F_i) \to 0$ tiene $\bigcap_{i=1}^\infty F_i \neq \emptyset$ (de hecho la intersección contiene exactamente un punto).
• (formulación del espacio métrico de Bolzano-Weierstraß) Todo subconjunto infinito y totalmente acotado de $X$ tiene un punto límite en $X$ .

Como es el caso $\mathbb R^n$ con su métrica habitual es completa. Y otro teorema dice que un subconjunto de un espacio completo es a su vez completo si y sólo si es cerrado en el espacio mayor. Esta es la razón por la que ser cerrado en $\mathbb R^n$ es una propiedad tan especial.

Compactación

Enlazando todo esto, tenemos la acotación total y la completitud. Como se puede imaginar, un espacio completo totalmente acotado es un maravilloso lugar para hacer el análisis. Siempre que te dan una secuencia sabes que tiene una subsecuencia de Cauchy y por completitud sabes que dicha subsecuencia debe ser convergente. ¡Absolutamente fantástico!

¿Pero cómo se relaciona esto con la definición de Heine-Borel de que "toda cubierta abierta tiene una subcubierta finita"?

Lo primero que observamos es que un espacio métrico que tiene la propiedad de Heine-Borel debe estar totalmente acotado. Para $\varepsilon > 0$ tome el conjunto de todas las bolas de radio $\varepsilon$ en el espacio. Es una cubierta abierta y por lo tanto tiene una subcubierta finita. Hecho.

A continuación aplicamos la ley de De Morgan a la definición de Heine-Borel y obtenemos lo siguiente

Toda colección de conjuntos cerrados $\mathcal F$ que tiene la propiedad de intersección finita (la FIP: cualquier subcolección finita de $\mathcal F$ tiene intersección no vacía), tiene a su vez intersección no vacía, es decir $\cap \mathcal F = \cap \{F : F \in \mathcal F\} \neq \emptyset$ .

Lo que equivale a la propiedad de Heine-Borel. Pero esto nos dice algo sobre la exhaustividad porque implica fácilmente la propiedad del conjunto anidado de la sección anterior.

Lo que es un poco más difícil es demostrar que totalmente acotado + completo implica la propiedad de Heine-Borel.

Todo esto es material muy estándar en los cursos sobre espacios métricos. Puedo recomendar de todo corazón N. L. Carothers - Análisis real que (en mi opinión) hace un excelente trabajo al presentar estas ideas.

Answer 3

Sea $X$ un espacio topológico. Un conjunto cerrado $A\subseteq X$ es un conjunto que contiene todos sus puntos límite, esto se puede formular como $X\setminus A$ es abierto, o como $\partial A\subseteq A$, de modo que cada punto en la frontera de $A$ es realmente un punto de $A$. Esto no significa que $A$ esté acotado o incluso compacto, por ejemplo $A=X$ siempre es cerrado. Si $X$ es un espacio métrico, podemos decir que siempre que $d(x,A)=\inf_{a\in A} d(x,a)=0$ entonces $x\in A$, ya que la primera afirmación es equivalente a $x\in\partial A$ en el caso métrico.

Un conjunto acotado en un espacio métrico $X$ es un conjunto $A\subseteq X$ con diámetro finito $\operatorname{diam}(A) =\sup_{a,b\in A} d(a,b)$, o equivalentemente, $A$ está contenido en alguna bola abierta con radio finito. Esto no implica que $A$ sea cerrado, por ejemplo, $(0,1)$ está acotado en $\mathbb R$ pero no es cerrado.

Cuando se trata de conjuntos compactos, se vuelve un poco más complicado en el caso topológico, aquí definimos un conjunto $A\subseteq X$ como compacto si cualquier cubierta abierta $\bigcup_{i\in I} U_i\supseteq A$ permite una subcubierta finita $U_{i_1}\cup \dots \cup U_{i_n} \supseteq A$. Algunas escuelas (como Bourbaki) llaman a esto cuasi-compacto y definen compacto como Hausdorff y cuasi-compacto.

Para subconjuntos de $\mathbb R^n$, tenemos el teorema de Heine y Borel, que nos dice que $A\subseteq \mathbb R^n$ es compacto si y solo si es cerrado y acotado.