Isomorfismo entre 2 espacios cotizados

Question

Dejemos que $M,N$ sean subespacios lineales $L$ entonces cómo podemos demostrar que el siguiente mapa $$(M+N)/N\to M/M\cap N$$ definido por $$m+n+N\mapsto m+M\cap N$$ es suryectiva? Originalmente, necesito probar que este mapa es biyección pero ya he probado que este mapa es inyectivo y bien definido, pero tengo dificultades para probar la subjetividad, por favor ayuda.

Answer 1

Dado un elemento arbitrario $x=m+M\cap N$ de $M/(M\cap N)$ , tenga en cuenta que $m+N\in (M+N)/N$ se asigna a $x$ .

Answer 2

Definir $T: M \to (M+N)/N$ por $m \mapsto m+N$ . Demuestra que es lineal y onto. Compruebe la $\ker T$ y es $M\cap N$ por el primer teorema de isomorfismo $f:M/(M\cap N) \to (M+N)/N$ es un isomorfismo.