Tengo lo siguiente, que estoy intentando modelar con un filtro de partículas.
\begin{align*} y_{i,t}&\sim\mathrm{Poisson}\left(\lambda_{i,j,t}\right)\\ y_{j,t}&\sim\mathrm{Poisson}\left(\mu_{i,j,t}\right) \end{align*}
\begin{align*} \lambda_{i,j,t}&=\delta_1\exp\left(\alpha_{i,t}-\alpha_{j,t}\right)\\ \mu_{i,j,t}&=\delta_2\exp\left(\alpha_{j,t}-\alpha_{i,t}\right) \end{align*}
\begin{align*} \alpha_{i,t}&\sim\mathrm{N}\left(\alpha_{i,t-1},\sigma_{\alpha}^2\right)\\ \alpha_{j,t}&\sim\mathrm{N}\left(\alpha_{j,t-1},\sigma_{\alpha}^2\right)\\ \end{align*}
Dónde:
t es un índice de tiempo, $t=1,\ldots,5320$ ;
$i,j\in\left\lbrace 1,\ldots,40\right\rbrace$ , $i\ne j$ (así que 40 estados en total pero sólo 2 se actualizan en cada momento $t$ );
el $\alpha$ estados son inobservables;
y el $y$ se observan para cada $t$ .
Para simplificar, supongamos que los valores de $\delta_1$ , $\delta_2$ y $\sigma_{\alpha}^2$ son conocidos y constantes.
Mi idea era tener un conjunto de partículas para cada estado. Luego actualizarlas (los 2 conjuntos implicados en el tiempo $t$ ) con ruido gaussiano, utilizando las ecuaciones de los estados. Dados estos valores, se pueden calcular las lambdas y luego las distribuciones condicionales para $y_{i,t}$ y $y_{j,t}$ dados los estados, son conocidos. Sin embargo, al calcular los pesos de importancia a partir de las distribuciones condicionales $y_{i,t}|\alpha_{i,t},\alpha_{j,t}$ y $y_{j,t}|\alpha_{j,t},\alpha_{i,t}$ , se obtienen dos conjuntos de pesos de importancia de \begin{align*} y_{i,t}&|(\alpha_{i,t}-\alpha_{j,t})\\ y_{j,t}&|(\alpha_{j,t}-\alpha_{i,t}). \end{align*}
Mi pregunta es cómo entonces volver a muestrear las partículas para $\alpha_{i,t}$ y $\alpha_{j,t}$ o posiblemente cómo puedo hacer esto de manera diferente para superar el problema. Soy bastante nuevo en los métodos secuenciales de Monte Carlo, por lo que cualquier otro consejo o sugerencia para abordar el problema sería apreciado.
