Problemas con la regla de la cadena en derivadas en la teoría de la perturbación quiral

Question

Me doy cuenta de que esta es una pregunta puramente matemática, que sin embargo ha surgido en un cálculo de física. La razón de publicarla aquí es que quiero una respuesta rápida y sucia. No algo lleno de definiciones. Si los moderadores piensan que no es adecuado para el sitio, siéntanse libres de eliminarlo.

Estoy calculando algunas derivadas de la matriz $U$ en la teoría de la perturbación quiral

$$U=e^{it^a\phi_a}$$

donde $t^a$ son las matrices de Pauli y $\phi_a$ son campos escalares complejos. Quiero derivar esto, por ejemplo

$$\partial_{\mu}U=\partial_{\mu}e^{it^a\phi_a}$$

dado que el exponente contiene una matriz, tengo dudas al aplicar la regla de la cadena. ¿Es la forma correcta de derivar

$$e^{it^a\phi_a}\partial_{\mu}(it^b\phi_b)$$

o

$$\partial_{\mu}(it^b\phi_b)e^{it^a\phi_a}$$

Answer 1

Creo que la respuesta es lamentablemente ninguna. Si haces una expansión de Taylor encuentras \begin{equation} \partial_\mu e^{i t^a \phi_a} = \sum_n \left(\frac{i^n}{n!}\right) \partial_\mu (\phi^a t_a)^n = i \partial_\mu (\phi^a t_a) - \frac{1}{2}\left( \partial_\mu (\phi^a t_a) \phi^b t_b + \phi^a t_a \partial_\mu (\phi^b t_b) \right) + \cdots \end{equation> El segundo término del lado derecho ya nos impide factorizar la respuesta en algo agradable, ya que $\partial \phi$ no conmuta con $\phi$. En un orden superior, puedes obtener cosas aún más feas como $\phi^n \partial \phi \phi^m.

Si trabajamos en $0+1$ dimensiones, entonces básicamente lo que estás preguntando es por la derivada de $e^{X(t)}$ con respecto a $t$, donde $X$ es una matriz. Hay una (terrible) fórmula para esto en Wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential) \begin{equation> \frac{d}{dt} e^{X(t)} = \int_0^1 d\alpha e^{\alpha X(t)}\frac{dX}{dt}e^{(1-\alpha)X(t)} \end{equation> Sospecho que esto rara vez es útil en la práctica (o, al menos en la teoría de la perturbación quiral).

Supongo que esto surge al expandir la acción efectiva en términos de $\phi$. Creo que probablemente lo único que realmente puedes hacer es trabajar de manera perturbativa y llevar un registro de todos los vértices diferentes que obtienes. Físicamente creo que lo que está sucediendo básicamente es "las partículas idénticas son idénticas", por lo que si tienes un vértice como $\partial \phi \partial \phi \phi \phi$ también debes tener un vértice correspondiente donde intercambies algunas de las $\phi$'s, como $\partial \phi \phi \partial \phi \phi.

Si estás trabajando con una lagrangiana, presumiblemente hay una traza, en cuyo caso puedes usar la propiedad cíclica de la traza para simplificar las cosas un poco, por ejemplo desde ${\rm tr}(\partial_\mu U \partial^\mu U^\dagger)$ terminas con vértices como \begin{equation> {\rm tr}(\partial U \partial U^\dagger) \supset {\rm tr}\left( t_a t_b t_c t_d\right)\left( \partial_\mu \phi^a \phi^b + \phi^a \partial_\mu \phi^b \right) \left(\partial^\mu \phi^c \phi^d + \phi^c \partial^\mu \phi^d \right) = 2 {\rm tr}\left(t_a t_b t_c t_d\right) \left(\partial_\mu \phi^a \phi^b \partial^\mu \phi^c \phi^d + \partial_\mu \phi^a \partial^\mu \phi^b \phi^c \phi^d\right) \end{equation> donde en la última línea utilizamos la propiedad cíclica de la traza.