Rotura espontánea de simetría en mecánica clásica, mecánica cuántica y teoría cuántica de campos

Question

Me preguntaba si alguien podría ayudarme a entender ruptura espontánea de la simetría (SSB) en mecánica clásica, mecánica cuántica y teoría cuántica de campos. Consideremos un potencial similar al de Higgs, con un máximo local rodeado de un estado básico degenerado -un lápiz en equilibrio sobre su punta, por ejemplo-.

Mecánica clásica (CM) exhibe espontáneamente la ruptura de la simetría si y sólo si el sistema es perturbado.

Mecánica cuántica (QM) no presenta ninguna ruptura de simetría, porque el estado básico es una superposición de las vacas degeneradas.

Teoría cuántica de campos (QFT) En el volumen infinito, se produce la ruptura espontánea de la simetría. Porque las vacas degeneradas son ortogonales, $$ \langle \theta^\prime | \theta \rangle = \delta(\theta^\prime-\theta), $$ se elige un estado básico.

Q1 ¿Es cierto que QM nunca exhibe BLU? Algunas fuentes sugieren lo contrario. Pero no veo la forma de evitar el argumento básico.

Q2 En la QFT, ¿es correcto que una diferencia conceptual con la MC es que el sistema no necesita ser perturbado? Supongo que es así, porque simplemente miramos la expectativa del campo $\langle 0 | \phi | 0 \rangle$ . Pero, ¿cómo puedo convencer a alguien de que el campo no puede quedarse en los máximos locales?

Q3 Me parece extraño que SSB desaparezca de QM a CM, y luego reaparezca en QFT. ¿Hay otros fenómenos que tengan esta característica? ¿Existe una forma agradable de entender esto?

Answer 1

La tercera pregunta Q3 es básicamente el tema de un trabajo por N.P. Landsman.

En la teoría cuántica, la ruptura espontánea de la simetría requiere que el sistema sea de dimensión infinita. Cuando el número de grados de libertad es finito, la ruptura espontánea de la simetría no tiene lugar. Consideremos, por ejemplo, una partícula en una dimensión que se mueve en el potencial de un doble pozo, el tunelado tiene lugar entre los dos estados degenerados, correspondientes a los mínimos del potencial, dando lugar a un único estado básico de superposición lineal. En el límite del número infinito de grados de libertad. Las probabilidades de transición entre los estados degenerados se desvanecen, con lo que el espacio de Hilbert se divide en sectores mutuamente inaccesibles construidos sobre cada estado básico.

Es bien sabido que en los sistemas clásicos con un número finito de grados de libertad es posible la ruptura espontánea de la simetría como también se destaca en lo siguiente revisar por Narnhofer y Thirring. Dado que un estado (puro) en un sistema clásico es un punto en el espacio de fase (un estado mixto es una distribución de probabilidad sobre el espacio de fase); entonces la ruptura de simetría espontánea clásica significa que hay condiciones iniciales que conducen a soluciones invariantes en el tiempo que no son invariantes bajo el grupo de simetría. Por ejemplo, en el doble pozo colocar la partícula en un pozo sin la energía suficiente para salir describe un estado de ruptura espontánea.

Hay muchos otros ejemplos de sistemas clásicos finitos que muestran ruptura de simetría espontánea, el más conocido es, quizás, el pandeo de barras Otro ejemplo es el Sistema de cuentas, aros y muelles .

Ahora, como subraya Landsman, Large $N$ los sistemas cuánticos son análogos a sistemas clásicos en el sentido de que las correlaciones cuánticas desaparecen como $\frac{1}{N}$ lo que nos lleva a la pregunta planteada de que para un finito $N$ por muy grande que sea, no se permite la ruptura espontánea de la simetría mientras que en el límite termodinámico el sistema se vuelve infinito y la ruptura espontánea de la simetría está permitida. La misma pregunta puede hacerse para $\hbar \rightarrow 0$ .

La explicación de Landsman es que cuando N se hace muy grande, el sistema se vuelve exponencialmente inestable a una perturbación que rompe la simetría y que lleva al sistema a uno de los estados degenerados ya a un nivel muy grande pero finito $N$ . Landsman realiza el análisis por medio de la mecánica cuántica algebraica y para una completa comprensión del artículo es necesario conocer su trabajo anterior.

Answer 2

Creo que estás juntando dos tipos diferentes de "ruptura de la simetría". La noción habitual de ruptura espontánea de la simetría en la materia condensada se produce en el límite termodinámico. Esto ocurre en ambos sistema clásico y cuántico. En este escenario, los diferentes estados básicos se separan infinitamente entre sí. Así que en un modelo con espines en una red -cuántica o clásica- si los espines se alinean, se necesitaría una cantidad infinita de energía para alinearlos en una dirección diferente mediante fluctuaciones locales.

A menudo se entiende que la ruptura espontánea de la simetría sólo puede ocurrir en el límite termodinámico. Por ejemplo, la función de partición debe ser analítica en un número finito de partículas y, por lo tanto, no puede haber una transición de fase y, por lo tanto, no hay SSB. (Admito libremente que no entiendo del todo por qué los hechos sobre el límite de tamaño infinito se aplican tan bien a sistemas físicos grandes pero finitos en el caso cuántico).

Lo que has enumerado como los dos primeros casos es una distinción entre los sistemas clásicos y los cuánticos finitos, es decir, el sistema clásico puede tener estados básicos que rompen la simetría, mientras que un sistema cuántico finito no puede. Esto es cualitativamente diferente del SSB habitual. No es espontáneo .

Toma tu potencial tipo Higgs con la partícula clásica empezando por arriba. Si no haces nada, se queda en la parte superior, la simetría se mantiene. Si la golpeas una vez, se moverá de un lado a otro entre los dos mínimos, por conservación de la energía, por lo que la simetría se mantiene en promedio. Si tratas de disipar la energía acoplando tu partícula al ruido, entonces pasarás mucho tiempo en la parte inferior de uno de los mínimos. Pero hay una probabilidad finita de que el ruido fluctúe y haga que tu partícula pase al otro pozo. Así que, de nuevo, si miras el tiempo suficiente la simetría se mantiene en promedio. Necesitas la barrera del potencial infinito para tener una verdadera ruptura de simetría espontánea.

Answer 3

En el caso de un potencial de doble pozo simétrico (el Hamiltoniano es par bajo paridad) el tunelamiento ocurre entre dos estados localizados en los dos mínimos siempre que la barrera sea finita. Estos dos estados son superposiciones de los estados de tierra y de excitación del hamiltoniano, por lo que no son estados propios del hamiltoniano. Si afinamos la altura de la barrera como parámetro hacia el infinito, la diferencia de energía entre los estados de tierra y de primera excitación disminuye y a una altura infinita desaparece, formando así un estado de tierra degenerado, uno de los cuales es antisimétrico bajo paridad (aunque el Hamiltoniano es simétrico bajo paridad). Se trata de una ruptura de simetría espontánea.

Para observar una transición de fase tenemos que alcanzar este estado básico roto por la simetría partiendo del estado básico inicial, es decir, tenemos que ir más allá de esta condición de vacío (degenerado) a un vacío negativo. A medida que aumentamos la altura de la barrera y conducimos el sistema hacia la transición de fase, el procedimiento se detiene justo al llegar al punto crítico. Por desgracia, no hay manera de ir más allá de este punto y observar la transición de fase en este sistema.