Si $X$ es una variedad afín, es $X$ un componente de una intersección completa con dos?

Question

Es una pregunta ociosa, pero a continuación expongo el ejemplo que me motivó.

Diga $X \subseteq {\mathbb A}^n_k$ es irreducible y $k$ es infinito. Entonces, eligiendo un punto regular de $X$ y recogiendo ecuaciones de $X$ El ideal es que se recorte $T_x X$ obtenemos un esquema que contiene $X$ como componente.

Si elegimos esas ecuaciones genéricamente, ¿podemos asegurar que ese esquema es una intersección completa con a lo sumo un componente extra más allá de $X$ ?

El ejemplo que me hizo preguntarme esto es cuando $X = $ { $(A,B) : AB = BA$ } es el espacio de pares de matrices conmutativas. Entonces un caso de la construcción anterior es $Y = $ { $(A,B) : AB-BA$ es diagonal}, que es una intersección completa reducida con dos componentes. Pensé que esto era interesante, pero ahora supongo que es el comportamiento esperado.

Answer 1

Tal vez me equivoque, pero me pareció que esto estaba bien por parte de Bertini.

Elija una hipersuperficie general $H_1$ que contiene $X$ (es decir, elegir una combinación lineal general de los generadores del ideal de $X$ Asegúrese de que no se trata de un lápiz). Elige otra hipersuperficie general $H_2$ que contiene $X$ . Repite este proceso. Al final terminamos con una intersección de $n - \dim X$ hipersuperficies que contienen $X$ . Llama a esta variedad reducible $Y$ . Esto tiene sólo un componente irreducible además de $X$ por el teorema de Bertini (el lugar base era $X$ y no es un lápiz). ¿Es esto lo que tenías en mente?

Supongo que esto debe surgir en la teoría de la vinculación (discutida en el libro de Eisenbud). Creo que he visto esto en el trabajo de Kawakita y también de Ein-Mustata sobre las singularidades (ver en particular, ideales de defectos lci ).

Answer 2

Consideraré el cierre proyectivo $X\subset\mathbb{P}^n$ . Digamos que $X$ es un esquema teóricamente definido por ecuaciones de grado $d_1\geq d_2\geq ... \geq d_m$ . Entonces podemos encontrar $f_i \in H^0(X,\mathcal{I}_{X}(d_i))$ para $i = 1,...,c$ , donde $c = codim_{\mathbb{P}^n}X$ tal que $$Y_1\cap...\cap Y_c = X\cup Z,$$ donde $Y_i = Z(f_i)$ . Además, si $Z$ es no vacía, entonces es irreducible y se cruza con $X$ en un divisor.

Básicamente, esto viene de la teoría del enlace ( http://books.google.it/books/about/Introduction_to_Liaison_Theory_and_Defic.html?id=yiCAwq8XtrkC&redir_esc=y ).

Puede encontrar los detalles del argumento aquí:

• A. Bertram, L. Ein, R. Lazarsfeld, Teoremas de fuga, un teorema de Severi y el ecuaciones que definen las variedades proyectivas J. Amer. Math. Soc. 4 (1991), 587-602.