En esta sección del documento Taranovsky dio una prueba de fundamentación del sistema para el $C_0,C_1$ y $C_2$ subsistemas de la versión de $C$ definido en " Construido desde abajo con paso a los niveles inferiores ", y luego, utilizando un enfoque diferente, lo hace para $C_i$ para todos $i$ . La prueba para $C_0,C_1,C_2$ está en ZFC, mientras que la prueba para $C_i$ está en ZFC + Cardinal Medible. Es importante señalar que el sistema hasta $C_\omega$ está (probablemente) limitada por $C(C(\Omega_2\omega,0),0)$ para el sistema principal. La gente suele confundir $C_i(\alpha,\beta)$ con el $n=i$ sistema de la principal $C$ . "Construido desde abajo con passthrough" C se cree que está limitado por $C(C(\Omega_2\omega,0),0)$ porque para cada $i$ el límite de todo lo construible en $C_i(\alpha,\beta)$ para $\alpha,\beta$ son estándar en el lenguaje de $\bigcup C_i$ donde todos los ordinales $\eta$ estándar en $C_n$ se construyen desde abajo con el paso por $C_{n+1}$ ordinales estándar por encima de $\eta$ parece ser $C(C(C^{i+1}(\Omega_2,\Omega_2),0),0)$ en su representación estándar donde $C^0(\alpha,\beta)=\beta\land C^{n+1}(\alpha,\beta)=C(\alpha,C^n(\alpha,\beta))$ . Si esto es cierto, implicaría que el límite de todo lo construible en $C_i$ es $C(C(\Omega_2i+\Omega_2,0),0)$ . Para valores inferiores de $i$ Parece que esto se mantiene. $C_0$ sólo puede utilizar ordinales construidos desde abajo por otros ordinales dentro de él, por lo que sólo puede contener expresiones finitas y nada de la forma $C(\alpha,\beta)$ para ordinales incontables $\alpha,\beta$ y, por lo tanto, está limitada por la menor $\alpha$ tal que $\alpha\mapsto C(\alpha,0)$ que resulta ser $\varepsilon_0$ . En la notación principal, $\varepsilon_0=C(\Omega_1,0)$ que está en su representación estándar en el $n=1$ sistema y está en la representación estándar $C(C(\Omega_2,0),0)$ dans le $n=2$ sistema. Análisis suficientemente sencillos pueden mostrar que el límite de todo lo construible en $C_1$ es $C(C(\Omega_2 2,0),0)$ y Taranovsky mostró una breve conjetura y explicación de cómo $C(C(\Omega_2 3,0),0)$ es posiblemente el límite de todo lo expresable en $C_2$ pero una inducción completa para $\sup\{C_i(\alpha,\beta):\alpha,\beta\in \bigcup C_i\cap\text{Stand}\}=C(C(\Omega_2\cdot(i+1),0),0)$ lo que implica la misma frase para $C_{i+1}$ aún no se ha demostrado.
Es interesante que Taranovsky no fue capaz de proporcionar una prueba para $C_i$ para todos $i$ dentro de ZFC y tuvo que recurrir a asumir la existencia de Cardenales Medibles para demostrar la fundamentación de $C_i$ . Tal vez tal prueba no existe, o tal vez existe pero es muy larga y complicada y difícil de pensar, posiblemente estirando los límites de ZFC. Si una teoría $T$ puede demostrar la fundamentación de una notación ordinal recursiva, entonces el límite de esa notación es un ordinal inferior al ordinal teórico de $T$ . Si ZFC no puede probar $C_\omega$ recursivo/bien fundado y el lenguaje de $C_i$ está limitado por $C(C(\Omega_2i+\Omega_2,0),0)$ son ambos correctos, entonces eso implicaría que $C(C(\Omega_2\omega,0),0)$ es igual o mayor que el ordinal teórico de prueba de ZFC. Esto es muy poco probable, porque una prueba en ZFC para $C_i$ más probable es que existan y ni siquiera el propio Taranovsky ha dado valores posibles tan altos para $C(C(\Omega_2\omega,0),0)$ , que en realidad fue propuesto como el ordinal teórico de prueba de la Aritmética de Segundo Orden por el análisis más reciente.
Originalmente, Taranovsky creía que el límite de cada $n+1$ sistema está dentro del rango de $\vert\Pi^1_n-\text{CA}_0\vert_\text{Con}$ y $\vert\Pi^1_{n+1}-\text{CA}_0\vert_\text{Con}$ que ahora se considera errónea, y se cree que el sistema global es mucho más fuerte. Aquí es donde entra en juego la posición de la propiedad "n-shiftedness". Esta es quizás la propiedad más importante cuando se trata de la fuerza de Taranovsky $C$ y es una de las razones por las que es tan difícil de analizar.
En primer lugar, dado que la notación ordinal utiliza un algoritmo de comparación simple, la fuerza de la notación depende casi por completo de un factor: lo fuerte que funciona la "n-construcción desde abajo" para ordinales suficientemente grandes. En términos básicos, $\alpha$ es 0-construido desde abajo por $\beta$ si $\alpha<\beta$ y $\alpha$ es $k+1$ -construido desde abajo por $\beta$ si la representación estándar de $\alpha$ no utiliza ordinales por encima de $\alpha$ excepto para los ordinales en el ámbito de un ordinal que es $k$ -construido desde abajo por $\beta$ . Decimos que un ordinal $\alpha$ está en el ámbito de un ordinal $\beta$ si $\alpha$ aparece en alguna parte de la representación estándar de $\beta$ dentro de la cadena lexicográfica en la lengua $\{C,0,\Omega_n\}$ que representa precisamente $\beta$ dentro de los respectivos $n$ sistema.
El sistema principal pretendía ser un intento de ampliar una notación que Taranovsky había hecho previamente llamada "Grados de Reflexión", definida utilizando una condición similar (pero no idéntica) de construcción desde abajo, y el $n=2$ se pretendía que fuera idéntico a éste, es decir, que un término en Grados de Reflexión tuviera aproximadamente el mismo comportamiento que ese término con todas las instancias de $\Omega$ sustituido por $\Omega_2$ . Pero en 2014, Taranovsky descubrió la $n=2$ sistema principal es más fuerte, debido a un fenómeno irregular que ocurre mientras el argumento izquierdo de $C$ es mayor que $\Omega_2$ : en muchos casos sustituyendo algunos de los Grados de Ref. $\Omega$ con sólo $C(\Omega_2,C(\Omega_2 2,0))$ es suficiente. Por ejemplo, $C(\Omega^\Omega,0)\, =\, C(\Omega+\Omega^\Omega,0)$ en Grados de Ref. se espera que tenga un comportamiento similar al de $C(\Omega_2+C(\Omega_2,C(\Omega_2 2,0))^{C(\Omega_2,C(\Omega_2 2,0))},0)$ en el sistema principal. Nótese que esto falla cuando el argumento izquierdo del sistema principal C es menor que $\Omega_2$ por ejemplo $C(C(\Omega_2,C(\Omega_2 2,0))^{C(\Omega_2,C(\Omega_2 2,0))},0)$ (sin el encabezamiento de " $\Omega_2+$ ") no cumple la condición de construido desde abajo - esto se debe a que la condición de construido desde abajo se vuelve lo suficientemente indulgente para que esto suceda cuando $\alpha$ es lo suficientemente grande, ya que entonces obtenemos los subterráneos $<\Omega_2$ como $C(\Omega_2,C(\Omega_2 2,0))$ "gratis". Además, este fenómeno se repetiría en niveles superiores del sistema, por ejemplo, para términos como $C(\Omega_2+C(\Omega_2,C(\Omega_2 3,0),0)$ . En Palabras de Taranovsky "patrones similares se repiten en diferentes niveles de la jerarquía de fuerza". Y todo esto sólo teniendo en cuenta la $n=2$ ¡sistema!
En general, resultó que la construcción de n desde abajo fue en realidad más fuerte de lo esperado para los ordinales estándar en el $n=2$ Taranovsky tuvo que formar un nuevo método de aproximación para n-construido desde abajo, según el cual, toda la notación podría llegar hasta el ordinal teórico de prueba de $Z_2+\text{PD}$ . Nada de esto ha sido confirmado, y los análisis no han ido más allá de $C(C(\Omega_2 2+C(\Omega_2+C(\Omega_2,C(\Omega_2 2,0))^{C(\Omega_2,C(\Omega_2 2,0))^\omega},0),0),0)$ debido al agotamiento con otras notaciones ordinales que no son lo suficientemente fuertes para proporcionar ordinales más allá de eso, con el fin de ser comparado más.
Lamentablemente, desde hace un par de años se ha encontrado un comportamiento inusual que parece ser exclusivo del sistema principal, lo que hace más difícil la comparación con otras notaciones ordinales. Hyp cos, el visor mencionado algunas veces en la página de Taranovsky, ha encontrado lo que llaman un "término errático" en el sistema principal, debido a cómo se comporta de forma diferente no sólo a otras notaciones ordinales que aparecen en la literatura, sino incluso a muchos de los otros sistemas de Taranovsky:
Dejemos que $a = C(\Omega_2+C(\Omega_2,\Omega_1),0)$ entonces $C(a+C(C(\Omega_2+C(a,\Omega_1),0),C(a,\Omega_1)),0)$ no es estándar. Es estándar en el "Sistema principal de notación ordinal con paso", y en los "grados de reflexión", "grados de reflexión con paso". Este es el primer término errático.
Lamentablemente, aparte de que la notación de Taranovsky es difícil de comparar, la otra razón por la que no se ha hecho tanto es porque todavía no ha recibido mucha atención de gente lo suficientemente cualificada para hacerlo.
