Probabilidad de que una ecuación cuadrática tenga raíces reales

Question

Problema

La premisa es casi lo mismo que en esta pregunta . Lo repetiré por comodidad.

Dejemos que $A$ , $B$ , $C$ sean variables aleatorias independientes distribuidas uniformemente entre $(-1,+1)$ . ¿Cuál es la probabilidad de que el polinomio $Ax^2+Bx+C$ tiene verdaderas raíces?

Nota: La distribución es ahora $-1$ a $+1$ en lugar de $0$ a $1$ .

Mi intento

Preparación

Cuando los coeficientes se muestrean a partir de $\mathcal{U}(0,1)$ la probabilidad de que el discriminante sea no negativo, es decir, $P(B^2-4AC\geq0) \approx 25.4\% $ . Este valor se puede obtener tanto teóricamente como experimentalmente. El enlace que compartí arriba con la pregunta anterior tiene varias respuestas buenas que discuten ambos enfoques.

Cambiar el intervalo de muestreo a $(-1, +1)$ dificulta un poco las cosas desde el punto de vista teórico. Experimentalmente, es bastante sencillo. Este es el código Escribí para simular el experimento para $\mathcal{U}(0,1)$ . Cambiándolo de (0, theta) a (-1, +1) me da una probabilidad media de $62.7\%$ con una desviación estándar de $0.3\%$

He trazado la PDF y la CDF simuladas. En este orden, son:

Así que mi objetivo es encontrar un CDF que se parezca a la segunda imagen.

Enfoque teórico

El planteamiento que me parece fácil de entender se expone en esta respuesta . Procediendo de manera similar, tenemos

$$ f_A(a) = \begin{cases} \frac{1}{2}, &-1\leq a\leq+1\\ 0, &\text{ otherwise} \end{cases} $$

Los PDF son similares para $B$ y $C$ .

El FCD para $A$ es

$$ F_A(a) = \begin{cases} \frac{a + 1}{2}, &-1\leq a\geq +1\\ 0,&a<-1\\ 1,&a>+1 \end{cases} $$

Supongamos que $X=AC$ . Procedo a calcular la FCD para $X$ (para $x>0$ ) como:

$$ \begin{align} F_X(x) &= P(X\leq x)\\ &= P(AC\leq x)\\ &= \int_{c=-1}^{+1}P(Ac\leq x)f_C(c)dc\\ &= \frac{1}{2}\left(\int_{c=-1}^{+1}P(Ac\leq x)dc\right)\\ &= \frac{1}{2}\left(\int_{c=-1}^{+1}P\left(A\leq \frac{x}{c}\right)dc\right)\\ \end{align} $$

Nos desviamos rápidamente para hacer algunas observaciones. En primer lugar, cuando $0<c<x$ tenemos $\frac{x}{c}>1$ . De la misma manera, $-x<c<0$ implica $\frac{x}{c}<-1$ . También, $A$ se limita al intervalo $[-1, +1]$ . Además, sólo nos interesa cuando $x\geq 0$ porque $B^2\geq 0$ .

Continuando, el cálculo

$$ \begin{align} F_X(x) &= \frac{1}{2}\left(\int_{c=-1}^{+1}P\left(A\leq \frac{x}{c}\right)dc\right)\\ &= \frac{1}{2}\left(\int_{c=-1}^{-x}P\left(A\leq \frac{x}{c}\right)dc + \int_{c=-x}^{0}P\left(A\leq \frac{x}{c}\right)dc + \int_{c=0}^{x}P\left(A\leq \frac{x}{c}\right)dc + \int_{c=x}^{+1}P\left(A\leq \frac{x}{c}\right)dc\right)\\ &= \frac{1}{2}\left(\int_{c=-1}^{-x}P\left(A\leq \frac{x}{c}\right)dc + 0 + 1 + \int_{c=x}^{+1}P\left(A\leq \frac{x}{c}\right)dc\right)\\ &= \frac{1}{2}\left(\int_{c=-1}^{-x}\frac{x+c}{2c}dc + 0 + 1 + \int_{c=x}^{+1}\frac{x+c}{2c}dc\right)\\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}(-x+x(\log(-x)-\log(-1)+1) + 0 + 1 + \frac{1}{2}(-x+x(-\log(x)-\log(1)+1)\right)\\ &= \frac{1}{2}\left(2 + \frac{1}{2}(-x+x(\log(x)) -x + x(-\log(x))\right)\\ &= 1 - x \end{align} $$

No creo que esto sea correcto.

Mis preguntas específicas

1. ¿Qué error estoy cometiendo? ¿Puedo obtener el CDF a través de la integración?
2. ¿Hay una manera más fácil? Utilicé este enfoque porque pude entenderlo bien. Hay enfoques más cortos posibles (como es evidente con el $\mathcal{U}(0,1)$ caso), pero tal vez necesite leer más para poder comprenderlos. Cualquier indicación en la dirección correcta sería útil.

Answer 1

Probablemente empezaría por dividir los casos en función de $A$ y $C$ .

Condicionado a $A$ y $C$ teniendo signos diferentes, siempre hay raíces reales (porque $4AC\leq 0$ para que $B^2-4AC\geq0$ ). La probabilidad de que $A$ y $C$ tienen signos diferentes es $\frac{1}{2}$ .

Condicionado a $A\geq0$ y $C\geq 0$ , vuelves al problema resuelto en el enlace anterior. ¿Por qué? Porque $B^2$ tiene la misma distribución tanto si tiene $B$ distribuido uniformemente en $(0,1)$ o en $(-1,1)$ . En el enlace, calcularon esta probabilidad como $\frac{5+3\log4}{36}\approx0.2544134$ . El evento condicionante aquí tiene probabilidad $\frac{1}{4}$ .

Por último, si condicionamos a $A<0$ y $C<0$ En realidad, terminamos con la misma probabilidad, ya que $4AC$ tiene la misma distribución en este caso que en el caso en que $A\geq0$ y $C\geq 0$ . Por lo tanto, esto es un $\frac{5+3\log 4}{36}\approx0.2544134$ probabilidad condicional, y el evento condicionante tiene probabilidad $\frac{1}{4}$ .

Así que, en conjunto, la probabilidad debería ser $$ \begin{align*} P(B^2-4AC\geq0)&=1\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot\frac{5+3\log4}{36}+\frac{1}{4}\cdot\frac{5+3\log 4}{36}\\ &=\frac{1}{2}+\frac{5+3\log4}{72}\\ &\approx0.6272... \end{align*} $$

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ En adelante, $\ds{\bracks{P}}$ es un Soporte Iverson . A saber, $\ds{\bracks{P} = \color{red}{1}}$ siempre que $\ds{P}$ es $\ds{\tt true}$ y $\ds{\color{red}{0}}$ $\ds{\tt otherwise}$ . Son muy convenientes cuando tenemos que manipular las restricciones .

---

\begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\int_{-1}^{1}{1 \over 2}\int_{-1}^{1} {1 \over 2}\int_{-1}^{1}{1 \over 2}\bracks{b^{2} - 4ac > 0} \dd c\,\dd a\,\dd b} \\[5mm] = &\ {1 \over 4}\int_{0}^{1}\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1}\bracks{b^{2} - 4ac > 0} \dd c\,\dd a\,\dd b \\[5mm] = &\ {1 \over 4}\int_{0}^{1}\int_{-1}^{1} \int_{0}^{1}\braces{\bracks{b^{2} - 4ac > 0} + \bracks{b^{2} + 4ac > 0}} \dd c\,\dd a\,\dd b \\[5mm] = &\ {1 \over 4}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left\{\bracks{b^{2} - 4ac > 0} + \bracks{b^{2} + 4ac > 0}\right. \\[2mm] &\ \phantom{{1 \over 4}\int_{0}^{1}\int_{-1}^{1} \int_{0}^{1}} \left. + \bracks{b^{2} + 4ac > 0} + \bracks{b^{2} - 4ac > 0}\right\}\dd c\,\dd a\,\dd b \\[5mm] = &\ {1 \over 2} + {1 \over 2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \bracks{b^{2} - 4ac > 0}\dd c\,\dd a\,\dd b \\[5mm] = &\ {1 \over 2} + {1 \over 2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}{1 \over a}\int_{0}^{a} \bracks{b^{2} - 4c > 0}\dd c\,\dd a\,\dd b \\[5mm] = &\ {1 \over 2} + {1 \over 2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\bracks{b^{2} - 4c > 0} \int_{c}^{1}{1 \over a}\,\dd a\,\dd c\,\dd b \\[5mm] = &\ {1 \over 2} - {1 \over 2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \bracks{c < {b^{2} \over 4}}\ln\pars{c}\,\dd c\,\dd b \\[5mm] = &\ {1 \over 2} - {1 \over 2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{b^{2}/4} \ln\pars{c}\,\dd c\,\dd b \\[5mm] = &\ {1 \over 2} - {1 \over 2}\int_{0}^{1}\bracks{% -\,{1 + 2\ln\pars{2} \over 4}\,b^{2} + {1 \over 2}\,b^{2}\ln\pars{b}}\,\dd b \\[5mm] = & \bbx{{\ln\pars{2} \over 12} + {41 \over 72}} \approx 0.6272 \\ & \end{align}

Answer 3

Sabemos por la fórmula cuadrática que el polinomio $Ax^2 + Bx + C$ tiene raíces reales si $B^2 - 4AC \geq 0$ . Podemos pensar en este problema en términos de volúmenes. Para ello, es más fácil si renombramos los coeficientes como $x \equiv A$ , $y \equiv C$ y $z \equiv B$ . Por lo tanto, para tener raíces reales requerimos que $z^2 \geq 4xy$ para $x,y,z \in (-1,1)$ . La probabilidad que buscamos es el cociente entre el volumen de la región para la que se cumple esta desigualdad y el volumen del cubo que la contiene, que es 8. Comience por observar que si $x$ y $y$ tienen signos opuestos, entonces esta desigualdad se satisface trivialmente. El volumen de la región para la que tienen signos opuestos 4. Consideremos ahora el caso en el que $x$ y $y$ tienen los mismos signos. En este caso, queremos calcular el volumen sobre la superficie $z^2 = 4xy$ y por debajo del cubo contenedor. Hay cuatro casos a considerar:

1. $-1 < x \leq -\frac{1}{4}$ y $\frac{1}{4x} \leq y \leq 0$ .
2. $-\frac{1}{4} \leq x \leq 0$ y $-1 < y \leq 0$ .
3. $0 \leq x \leq \frac{1}{4}$ y $0 \leq y < 1$ .
4. $\frac{1}{4} \leq x < 1$ y $0 \leq y \leq \frac{1}{4x}$ .

Por simetría podemos considerar sólo los casos 1 y 2 y multiplicar ese volumen por 2. En cada caso tenemos que calcular la integral: \begin{align*} \int_a^b\int_c^d 2 - 4\sqrt{xy}\,dy\,dx, \end{align*} donde los límites de integración se definen más arriba. Evaluando los casos 1 y 2 encontramos que el volumen es $5/18 + (1/6)\ln(4)$ . Por lo tanto, el volumen total que satisface la desigualdad es \begin{align*} 4 + 2\left(\frac{5}{18} + \frac{1}{6}\ln(4)\right) = \frac{41}{9} + \frac{1}{3}\ln(4) \end{align*} lo que lleva a una probabilidad de \begin{align*} \frac{1}{8}\left(\frac{41}{9} + \frac{1}{3}\ln(4)\right) \approx 0.62721 \end{align*}