Consecuencias de la teoría de la rep de Bott--Weil--Borel

Question

Últimamente me he interesado por el teorema de (Bott--)Borel--Weil. Como geómetra (principalmente) es muy interesante ver cómo aparece una representación (de la nada, por lo que veo) en la teoría de la geometría compleja.

Sin embargo, lo que no consigo averiguar es si este hecho se ha utilizado para demostrar algún resultado interesante en la teoría de las representaciones, es decir, ¿la realización geométrica de la representación nos permite demostrar algo que no supiéramos ya?

Answer 1

Siempre es una buena idea preguntarse (como suelen hacer los estudiantes) por qué se estudia un tema o un teorema concreto. He aquí algunos de mis puntos de vista, desde el lado algebraico de la teoría de la representación:

1) El teorema original aquí fue demostrado por Borel y Weil, aunque nunca fue escrito formalmente por ellos. Serre lo expuso en el seminario Bourbaki (exponer 100, normalmente disponible en línea en NUMDAM, que puede estar en renovación en este momento). Tomado por sí mismo, el teorema de Borel-Weil proporciona un modelo geométrico algo concreto utilizando haces de líneas en la variedad bandera para todas las representaciones irreducibles de dimensión finita de un grupo de Lie semisimple (complejo o compacto). Hasta el isomorfismo, estas representaciones están parametrizadas por caracteres "dominantes" de un toro máximo. La existencia fue originalmente una consecuencia indirecta del trabajo de E. Cartan y luego de Weyl, pero las representaciones reales no son fáciles de escribir. En su lugar, se desarrollaron ingeniosamente algunas informaciones indirectas sobre los caracteres (o multiplicidades del espacio de pesos).

2) Más tarde Bott, en su fundamental 1957 Anales El artículo "Homogenous vector bundles" respondía a una conjetura de Borel e Hirzebruch demostrando que para pesos no dominantes y los correspondientes haces de líneas, la variedad bandera tiene una cohomología no evanescente a lo sumo en un grado (predecible). Cuando la cohomología es distinta de cero, proporciona la misma representación irreducible que se obtiene de un peso dominante "enlazado" por el grupo de Weyl a través de Borel-Weil. Desde el punto de vista de la teoría de la representación, esto es, por supuesto, un resultado algo negativo que muestra que no aparece nada nuevo en los cálculos de cohomología superior.

3) En una serie de artículos (sobre todo en Inventar. Matemáticas. y disponible en línea a través del archivo GDZ), Demazure tradujo estas ideas al lenguaje de la geometría algebraica. Trabajando todavía en la característica 0, derivó una prueba "muy simple" de los teoremas de Borel-Weil y Bott, y luego mostró cómo derivar la fórmula del carácter de Weyl y aplicarla eficazmente en este mismo marco.

4) Como señala Aakumadule, la prueba de Kumar de la antigua conjetura PRV sobre productos tensoriales de irreducibles (que predice ciertos sumandos directos) se basa en gran medida en la maquinaria del teorema de Borel-Weil, aunque en el marco algebraico. Naturalmente, la variedad bandera es un actor importante en la teoría de la representación aquí y en otros lugares, como en el trabajo de Kumar con Littelmann y el libro de Brion y Kumar sobre la división de Frobenius. Todo esto tiende a derivar también hacia la característica primera.

5) En el carácter primo (que es lo que más me interesa), los trabajos de H.H. Andersen y otros han demostrado lo que se puede y no se puede hacer en el montaje de Demazure. En particular, las reducciones modulo un primo de las representaciones irreducibles estándar se convierten en "módulos de Weyl" (y juegan un papel importante en el libro de Jantzen Representaciones de grupos algebraicos ). Estos suelen ser reducibles, pero tienen propiedades formales como los módulos de Verma de dimensión infinita en característica 0 y conducen (por las ideas de Lusztig) a una conjetura parcialmente probada sobre los caracteres de los irreducibles. Para la cohomología superior todavía hay muchos problemas abiertos. A diferencia del caso de Bott, a veces se producen sistemáticamente múltiples grupos de cohomología superior distintos de cero, aunque el carácter de Euler permanece invariante. He conjeturado que la teoría de Kazhdan-Lusztig para un grupo afín de Weyl (relativo a la rpima) controla todo esto de una manera agradable.

Answer 2

Lo que escribo aquí parece más bien una contribución a un lista grande que una "respuesta", pero como ya has elegido una de todos modos...

Digamos que está interesado en qué irreps $V_\nu$ se producen en $V_\lambda \otimes V_\mu$ . Sea $C$ sea el conjunto de triples $(\lambda,\mu,\nu)$ para los que esto es cierto, un subconjunto de $($ los pesos dominantes $)^3$ . Teorema: $C$ se cierra bajo la adición.

La única prueba que conozco es esta: $(\lambda,\mu,\nu)$ está en $C$ si el haz de líneas ${\mathcal L}_\lambda \boxtimes {\mathcal L}_\mu \boxtimes {\mathcal L}_\nu^*$ en $(G/B)^3$ tiene un valor no nulo $G$ -sección invariable. Dadas dos secciones no nulas para dos triples diferentes, podemos tensoras juntas, y el resultado seguirá siendo distinto de cero porque $(G/B)^3$ es reducido e irreducible. Por lo tanto, la suma de de los triples es de nuevo en $C$ .

Answer 3

Consulta el libro Frobenius Splitting Methods in Representation Theory de Brion y Kumar. Hay muchos resultados de la teoría de la representación en característica positiva en ese libro que se basan fundamentalmente en la realización geométrica de las representaciones inducidas. Para muchos de los hechos de la teoría de la representación demostrados por los métodos de división de Frobenius es cierto que también se puede escribir una prueba no geométrica, pero las pruebas de la división de Frobenius son casi siempre más simples y libres de casos (véase, por ejemplo, el capítulo 4 de Brion-Kumar sobre la propiedad de buena filtración para los módulos sobre un grupo reductor).

E incluso si sólo te interesan las representaciones complejas en lugar de las representaciones de característica positiva, esta técnica sigue siendo útil porque uno puede basarse en hechos de característica positiva a característica 0. Hay al menos una afirmación puramente teórica de la representación sobre los números complejos (en relación con la llamada filtración generalizada de Brylinski-Kostant) de la que sólo conozco una prueba geométrica, utilizando métodos de división de Frobenius en característica positiva y luego cambiando de base.

Una cosa que complica un poco todo este panorama es que a menudo, cuando un resultado de la teoría de la representación se demuestra primero por medios geométricos, es natural buscar luego una prueba algebraica, por lo que a menudo se encuentran pruebas de ambos tipos. (Véase, por ejemplo, el artículo original de R. Brylinski sobre la filtración BK, que utiliza crucialmente la geometría para demostrar un hecho puramente teórico de la representación; su artículo fue seguido por un artículo de Joseph y Heckenberger que ofrece una prueba algebraica alternativa de sus resultados. Otro ejemplo es la técnica algebraica de división de Frobenius ideada por Kumar y Littelmann).