Expresa la suma de tres raíces como combinación de cocientes

Question

Estoy tratando de hacer un ejercicio relativo a los polinomios simétricos.

Nos dan el siguiente polinomio:

$ X^3 + pX +q = 0$

Con $x_1, x_2, x_3 $ sus raíces.

Se nos pide que demos una expresión con $p, q$ de la siguiente suma :

$x_1^8 + x_2^8 + x_3^8 $

La forma obvia de hacer esto es demasiado complicada, pero recuerdo que nuestro profesor dijo que había un truco para trabajar con exponentes altos como estos.

Obsérvese que esta expresión es simétrica, por lo que podemos utilizar Cardano-Vieta para resolverla.

Gracias por leer.

Answer 1

Yo suelo utilizar este truco. Llamemos:

$$S_j=x_1^j+x_2^j+x_3^j$$

Estamos buscando $S_8$ . Trivialmente:

$$\left\{\begin{matrix} x_1^3+px_1+q=0\\ x_2^3+px_2+q=0\\ x_3^3+px_3+q=0 \end{matrix}\right.$$

Si multiplicamos ambos lados por el monomio $x^j$ la suma de las potencias de las raíces no cambia porque estamos sumando $n$ raíces que son iguales a 0. Así que: $$\left\{\begin{matrix} x_1^{j+3}+px_1^{j+1}+qx_1^{j}=0\\ x_2^{j+3}+px_2^{j+1}+qx_1^{j}=0\\ x_3^{j+3}+px_3^{j+1}+qx_1^{j}=0 \end{matrix}\right.$$

Suma todos los términos y obtienes:

$$S_{j+3}=-pS_{j+1}-qS_{j}$$

Así que ahora debemos calcular $S_2$ y $S_3$ y aplicar la recursión algunas veces. $S_2$ es un cálculo estándar:

$$S_2=x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$$

Aplicación de las fórmulas de Vieta:

$$x_1+x_2+x_3=0$$ $$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=p$$

Así que: $$S_2=-2p$$ Además, para la recursión: $$S_{3}=-pS_{1}-qS_{0}=-3q$$

Y para la fórmula recursiva $$S_5=-pS_3-qS_2=3pq+2pq=5pq$$ $$S_8=-pS_6-qS_5$$

Un último esfuerzo para $S_7$ : $$S_4=-pS_2-qS_1=2p^2$$ $$S_6=-pS_4-qS_3=-2p^3+3q^2$$

Y por último:

$$S_8=-p(-2p^3+3q^2)-q(5pq)$$ $$S_8=2p^4-8pq^2 $$

)

Answer 2

Sugerencia :

Denote $\;\sigma_1=\sum_i x_i$ , $\;\sigma_2=\sum_{i\ne j}x_ix_j$ , $\; \sigma_3=x_1x_2x_3$ . Por la forma de la ecuación, sabemos que $$\sigma_1=0,\enspace \sigma_2=p,\quad \sigma_3=-q.$$

Ahora reescribe la ecuación como $X^3=-pX-q$ . Deducimos \begin{cases} x_i^3=-px_i-q, \quad\text{ hence} \\ x_i^6=(px_i+q)^2=p^2x_i^2 +2pqx_i+q^2 \\ x_i^8=p^2x_i^4 +2pqx_i^3+q^2x_i^2 =\dotsm \end{cases} ¿Puede seguir expresando $x_i^8$ como un polinomio cuadrático en $x_i$ y, a partir de ahí, expresar $\sum_i x_i^8$ con $\sigma_1, \sigma_2,\sigma_3$ ?

Answer 3

Utilice Identidades de Newton (para relacionar las sumas de las potencias de las raíces con los coeficientes del polinomio).

Usando la notación en la página citada, usted quiere $p_8(x_1,x_2,x_3)$ donde (suprimiendo en adelante " $(x_1,x_2,x_3)$ ") $$ e_0 = 1 , e_1 = 0 , e_2 = p , e_3 = -q \text{, and } e_{\geq 4} = 0 \text{.} $$ Entonces \begin{align*} p_1 &= e_1 = 0 \\ p_2 &= e_1 p_1 - 2 e_2 \\ &= 0 \cdot 0 - 2 \cdot p = -2 p \\ p_3 &= e_1 p_2 - e_2 p_1 + 3 e_3 \\ &= 0 - 0 + 3 (-q) = -3 q \\ p_4 &= e_1 p_3 - e_2 p_2 + e_3 p_1 - 0 \\ &= 0 - p(-2p) + 0 - 0 = 2 p^2 \\ &\vdots \end{align*}

\begin{align*} p_5 &= e_1 p_4 - e_2 p_3 + e_3 p_2 - 0 \\ &= 0 - p(-3q) - q(-2p) = 5 pq \\ p_6 &= e_1 p_5 - e_2 p_4 + e_3 p_3 - 0 \\ &= 0 - p(2p^2) - q(-3q) = -2 p^3 + 3 q^2 \\ p_7 &= e_1 p_6 - e_2 p_5 + e_3 p_4 - 0 \\ &= 0 - p(5pq) - q(2p^2) = -7 p^2 q \\ p_8 &= e_1 p_7 - e_2 p_6 + e_3 p_5 - 0 \\ &= 0 - p(-2 p^3 + 3 q^2) - q(5 pq) \\ &= 2 p^4 - 8 p q^2 \text{.} \end{align*}

Tenga en cuenta que, como $e_{\geq 4} = 0$ Una vez que lleguemos a $p_4$ y para siempre después, estamos realizando el mismo producto punto con los tres términos anteriores, por lo que esto se puede enrollar en una multiplicación matricial y hacer mucho más rápido, especialmente para $p_\text{huge number}$ .

---

Una forma totalmente diferente de hacerlo es esta. Queremos reducir $x_1^8 + x_2^8 +x_3^8$ por las relaciones $x_1^3 + p x_1+ q = 0$ , $x_2^3 + p x_2+ q = 0$ , $x_3^3 + p x_3+ q = 0$ , $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ , $x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = p$ y $x_1 x_2 x_3 = -q$ . Construir una base de Groebner de esas relaciones con orden variable $x_1, x_2, x_3$ , da $$ \{x_3^3 + p x_3 + q, x_2^2 + x_2 x_3 + x_3^2 + p, x_1 + x_2 + x_3\} $$ y reduciendo $x_1^8 + x_2^8 + x_3^8$ por esta base da

$$ 2p^4 - 8 p q^2 \text{.} $$

Podemos hacer que Wolfram Alpha [hacer todo el trabajo tedioso](https://www.wolframalpha.com/input/?i=polynomialreduce(a%5E8%2Bb%5E8%2Bc%5E8,%20groebnerbasis%5B%7Ba%2Bb%2Bc,%20ab%2Bac%2Bbc%20-p%20,%20abc%2Bq%7D,%7Ba,b,c%7D%5D,%7Ba,b,c%7D%5D) (y utilizar una especificación de base más corta ya que las relaciones son redundantes). El resultado es la última expresión, el resto (canónico) al dividir $x_1^8 + x_2^8 + x_3^8$ por las relaciones.

Answer 4

Denotando el polinomio por $P(X)$ podemos considerar la expansión de $\log\left[P(X)/X^3\right]$ en los poderes de $X^{-1}$ . Tenemos:

$$\frac{P(X)}{X^3} =\prod_{k=1}^3\left(1-\frac{x_k}{x}\right)$$

Por lo tanto:

$$\log\left[\frac{P(X)}{X^3}\right] =-\sum_{r=1}^\infty\frac{S_r}{rX^r}$$

donde

$$S_r = \sum_{k=1}^3 x_k^r$$

Por lo tanto, necesitamos calcular la expansión en serie de

$$\log\left(1 + \frac{p}{X^2} + \frac{q}{X^3}\right)$$

la suma de las octavas potencias de las raíces es entonces el coeficiente de $X^{-8}$ veces $-8$ . En este caso particular, la extracción de este coeficiente requiere muy poco esfuerzo ya que las únicas contribuciones provienen de la tercera y cuarta potencia de $\frac{p}{X^2} + \frac{q}{X^3}$ . La cuarta potencia da lugar a una contribución

$$(-8)\times \left(-\frac{1}{4}\right) p^4= 2 p^4$$

La tercera potencia produce una contribución a través del cuadrado del segundo término multiplicado por el primero, esto es

$$(-8)\times \frac{1}{3} \times 3 p q^2=-8 p q^2$$

Por lo tanto, el resultado es:

$$S_8 = 2 p^4 - 8 p q^2$$