La serie es $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^\alpha}\log\left(1+\frac{1}{k}\right)$$
Como el sumando es un producto de dos factores, y el factor logarítmico es monotónicamente decreciente a cero, a medida que n se va al infinito, quiero utilizar la prueba de Dirichlet para mostrar la convergencia de esta serie, en función del parámetro de $\alpha$ que es la parte complicada.
El segundo criterio que hay que cumplir para poder aplicar la prueba es que
$$\sum_{k=1}^N \frac{1}{k^\alpha}$$
para estar acotado para cada entero positivo $N$ . Para $\alpha >1$ esto es obvio, ya que da una convergencia $p$ -serie.
Entonces, había pensado que mi respuesta era que esta serie converge para todos $\alpha>1$ .
Parece que no.
El intervalo completo de convergencia es en realidad para $\alpha>0$ .
¿Puedo seguir por este camino y seguir utilizando el test de Dirichlet? Si es así, ¿cómo puedo modificar la suma parcial anterior para demostrar que también está acotada para $\alpha>0$ para todos los enteros positivos $N$ ?
Gracias
