Demuestre que existe un vector columna no nulo $x$ tal que $A x = B x = 0$

Question

Matrices dadas $A, B \in \mathbb R^{n \times n}$ cuyos rangos satisfacen la desigualdad $$r(A)+r(B) < n$$ demuestre que existe un vector $x \in \mathbb R^n \setminus \{0_n\}$ tal que $A x = B x = 0_n$ .

Desde $r(A) + r (B) < n$ Por lo tanto $A, B$ ambas son matrices singulares. Por lo tanto, $Ax=0 $ y $Bx=0$ ambos tienen soluciones no nulas. Ahora cómo demostrar que la intersección del espacio nulo de $A$ y el espacio nulo de $B$ no es trivial.

Answer 1

Nótese que la dimensión del núcleo de $A$ es $n - r(A)$ y un resultado similar es válido para $B$ . Así que hay $n - r(A)$ vectores linealmente independientes que forman una base del núcleo de $A$ y $n - r(B)$ vectores linealmente independientes que forman una base del núcleo de $B$ . Tenga en cuenta que $n - r(A) + n - r(B) > n$ por lo que los dos conjuntos de bases no son linealmente independientes, es decir, existe un vector no nulo expresable en ambas bases. Este vector es ahora nuestro $X$ .

Answer 2

Dejemos que $d(A)=\dim(\ker A)$ , $d(B)=\dim(\ker B)$ . El fórmula de nulidad de rango implica que $\;d(A)+d(B)>n$ .

Ahora, a partir de la secuencia exacta $$0\longrightarrow\ker A\cap\ker B\longrightarrow \ker A\oplus\ker B\longrightarrow\ker A+\ker B\longrightarrow 0, $$ deducimos que $$\dim(\ker A\cap\ker B)=d(A)+d(B)-\dim(\ker A+\ker B)>n-n=0.$$ Así que la intersección tiene una dimensión de al menos $1$ .