El borde de un estado de Hall cuántico fraccionario es una teoría de campo conforme quiral. En el caso de Laughlin corresponde al bosón quiral,
$$ S = \frac{1}{4\pi} \int dt dx \left[\partial_t\phi\partial_x\phi - v (\partial_x\phi)^2\right]$$
Aquí el campo $\phi$ se identifica con el operador de densidad de carga:
$$ \rho(x) = \frac{\sqrt{\nu}}{2\pi} \partial_x\phi$$
Ahora, se espera que este operador sea la componente cero de un vector doble, $J^\mu = (\rho, j)$ con $j$ la corriente de borde. Entonces, ¿cómo $j$ se relacionan con $\phi$ ? La razón por la que pregunto es que la literatura da diferentes respuestas para esto.
- Este documento al principio del capítulo III para utilizar la ecuación de continuidad y obtener $j = -v\frac{\sqrt{\nu}}{2\pi} \partial_x\phi$ .
- Este documento (aviso en pdf) tiene la ecuación (2.12) que relaciona $j = -\frac{\sqrt{\nu}}{2\pi} \partial_t\phi$ . Sin embargo, no hay motivación.
- Este documento primero acopla la teoría a un potencial electromagnético con componentes $(a_0, a_x)$ en la frontera ( $D_\mu = \partial_\mu + \sqrt{\nu}a_\mu$ ), $$ S = \int dt dx \frac{1}{4\pi}\left[D_t\phi D_x\phi - v_c (D_x\phi)^2\right]+\frac{\sqrt{\nu}}{2\pi}\epsilon^{\mu\lambda}a_{\mu}\partial_\lambda\phi$$ y define la corriente a través de $J^\mu = \frac{\delta S}{\delta a_{\mu}}$ dando $J^\mu=(\frac{\sqrt{\nu}}{2\pi} D_x\phi, -v\frac{\sqrt{\nu}}{2\pi} D_x\phi)$ .
Así, observo que el caso 3 se reduce al caso 1 cuando $a_x = 0$ . Además, el caso 3 es invariante gauge, por lo que este operador parece una elección lógica.
Mi problema con esta elección es el siguiente: Considere un sistema con dos bordes (barra de Hall cuántica infinita) y suponga que tiene un potencial distinto de cero a lo largo de un borde, $a_t = U$ y $a_x = 0$ a lo largo de este borde. Por lo tanto, se espera que una corriente corra a través del sistema, porque los bordes se mantienen a diferentes potenciales (y la corriente corre perpendicular a la diferencia de potencial, debido a la relación cuántica de Hall). Pero: $\langle \partial_x \phi\rangle = 0$ , así que para el caso 1 y 3 no hay corriente.... ¿Esto hace que el caso 2 sea la opción correcta?
Así que tal vez la cuestión se reduzca a: ¿Qué operador representa la corriente de borde? ¿Qué operador se "mide" en un experimento en el que se sondea la corriente?
