igualdad de triángulos en el colector

Question

Para un triángulo generilizado en una variedad, (la distancia puede ser considerada como la longitud geodésica) es bien sabido que para la Geometría Eucilidea lo siguiente es cierto:

Considere un triángulo $ABC$ , $D$ es el punto medio de $BC$ entonces $AD\leq \frac{1}{2}(AB+AC)$

Según mis conocimientos, también es cierto en esferas de dimensión n. Sin embargo, no conozco los casos generales.

Cualquier consejo será apreciado.

Answer 1

Esto no es cierto para la esfera; tome el triángulo con $AB=BC=CA=\tfrac23\cdot\pi$ .

Su desigualdad es equivalente a la condición de que la función de distancia desde cualquier punto es convexa . En particular, se cumple en cualquier variedad completa simplemente conectada con curvatura seccional $\le 0$ .