Es una fórmula
$$\langle \Omega,\text d \omega \rangle = \langle \partial \Omega,\omega \rangle$$
como teorema de Stokes
$$\int_\Omega \text d \omega=\int_{\partial\Omega} \omega$$
común en cohomology teorías?
Hay ejemplos relevantes y cuál es su interpretación?
La fórmula de preguntar acerca de es bastante común. E. g. en homología simplicial/cohomology, nos triangular de un espacio en simplices. El complejo de cadena hicieron que los simplices, a continuación, calcula la homología simplicial.
También podemos definir simplicial cochains: esto es sólo el doble de complejo a la simplicial complejo de cadena, por lo que, concretamente, de un simplicial cochain sólo asocia un número a cada simplex en nuestro espacio.
Si $\Omega$ es un simplex, y $\omega$ es un simplicial cochain, entonces por definición de la coboundary operador $d$ on simplicial cochains, uno tiene la fórmula $$\langle \Omega, d\omega \rangle = \langle \partial \Omega, \omega\rangle.$$ Esto es más tautológica que el de Rham cohomology caso, sin embargo, debido a que uno no tiene un a priori de la noción de simplicial cochains, o de la coboundary operador en ellos, por lo que toda la teoría de simplicial cohomology está definido para hacer que esta fórmula sea verdadera. (Una totalmente análoga historia es verdadera si reemplazamos simplicial por singular en todas partes en el anterior).
Lo que es algo especial, en el de Rham caso es que tenemos un a priori de la noción tanto de simplices u otros submanifold-como subobjetos de un colector y de sus límites, y de formas diferenciales y el exterior de la derivada en los formularios. La fórmula de la relación está en no una formalidad; de hecho, permite comparar simplicial o singular cohomology de de Rham cohomology, y es realmente el ingrediente más importante en el hecho de que los cohomologies son isomorfos de de Rham cohomology.
Si uno se mantiene en el puramente simplicial (o singular) contexto, en la primera se ve la fórmula completamente formal, y de hecho simplicial (o singular) cohomology sí, el primero parece bastante formal (y usted puede preguntarse por qué usted necesita, cuando ya tienen singular/homología simplicial). Pero hay otras descripciones de singular cohomology, por ejemplo, a través de la obstrucción de la teoría. Por ejemplo, uno tiene el isomorfismo $$H^1(X,\mathbb Z) = \text{ homotopy classes of maps } X \to S^1.$$ Desde este punto de vista simplicial o singular cohomology las clases se pueden tomar en un no-formal de la apariencia, y en la demostración de tales declaraciones, la fórmula de preguntar acerca juega un papel clave.
Cuando la gente dice cohomology teoría, no suele pensar en algunos espectro. La razón por la que es Eilenberg y Steenrod desarrollado axiomas para qué cohomology de la teoría en la categoría de parejas de "agradable" espacios deben hacer. Entonces, demostraron que singular cohomology satisfecho con estos y era esencialmente único. De Rham cohomology es una especie de milagrosa en el que es fácil ver la geometría. Es que mirando en la cara, estas cosas son las formas en su colector!
La vinculación puede ver en el teorema de stokes es realmente un caso especial por 2 razones. La primera es inherente a la geometría de De Rham cohomology. Tenemos una interpretación geométrica de lo que significa ser una De Rham cocycle. Y por geométricas, me refiero a que para cada $\alpha \in H^n_{dR} X$ donde $X$ es un colector, entendemos que hay algunos intrínseca de la estructura en $X$ que esta es la detección. Esto no suele ser el caso de otras teorías. Tenemos presente en $K$-la teoría con vector de paquetes y cobordism con las familias de los colectores, pero eso es todo. Sería un gran problema si alguien entiende lo $\alpha \in tmf^*X$ iba a ser en $X$ que iba a ganar un premio (como un abrazo o un trabajo o algo).
La segunda es que la singular cohomology es uno de los pocos cohomology de las teorías que tiene una formulación como la homología de algunos complejo de cadena. Usted podría pedir la homología de las teorías sobre los espacios para realmente ser invariantes de la tierra en los complejos de la cadena y que no están del todo bien definidos. Estoy bastante seguro de que es justo a la izquierda con singular cohomology.
Así que permítanme ser liberal y decir que un cohomology teoría debe ser algo que satisface la Eilenberg-Steenrod axiomas, excepto para la dimensión axioma. Permite también supongo que esto cohomology teoría tiene algún tipo de producto, a continuación, Marrón representabilidad nos dice que nosotros tenemos un anillo de espectro. Esto es a lo que me refiero representada cohomology de la teoría. Así que en este establecimiento $E^*X=[X,E]$ es sólo el homotopy clases de mapas de $X$ en el espectro de $E$, lo que significa. Del mismo modo $E_* X$ es sólo homotopy clases de mapas de la esfera de espectro en $X \wedge E$.
Mientras que el teorema de stokes es realmente acerca de De Rham de la teoría, es realmente un presagio.
Integración de formas diferenciales en contra de submanifolds es realmente un buen modelo de lo que se denomina la tapa del producto, que es realmente único bien definido debido a que el teorema de Stokes. La tapa del producto es como un emparejamiento entre el $E^*X$$E_*X$. La tapa del producto es un poco más sutil, así que no voy a hablar de ello (no es difícil, solo un poco).
Para responder a su pregunta específica, no es sólo una fórmula en la singular cohomology teorías porque el límite operador sólo tiene sentido en ese contexto.
Mi sugerencia es que se intenta emparejar $a \in E^*X$ $b \in E_*X$ para obtener un elemento en $\pi_*E$ (en el caso que mencionas $E=H\mathbb{R}$ el Eilenberg-Maclane espectro de los reales, que representa de Rham cohomology, y el resultado será un número real ... un elemento de $\pi_0 H \mathbb{R}$).
Déjeme saber si usted necesita ayuda, pero recuerda usar el hecho de que estamos trabajando con los representados cohomology y teorías de homología y que $E$ es un anillo de espectro, por lo que tiene un mapa de producto $\mu: E \wedge E \to E$.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
