Si una sucesión de funciones es nula en casi todas partes y converge puntualmente en casi todas partes, ¿ocurre lo mismo con un límite?

Question

Dejemos que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sea una secuencia de funciones en $\mathcal{L}^p(\mathbb{R})$ . Cada $f_n$ es cero en casi todas partes. Además, la secuencia converge puntualmente en casi todas partes a algún $f$ .

Es $f$ ¿Igual a cero en casi todas partes?

Mi problema es que no veo ninguna relación entre los conjuntos de medida cero $N_n := \{x \in \mathbb{R} \colon f_n(x) \neq 0\}$ y el conjunto correspondiente $N$ de $f$ .

¿Cómo puedo determinar el límite puntual de $f$ ?

Answer 1

Dejemos que $N_n$ se defina como en el caso anterior. La función puede no converger en $N=\cup_{n \in \mathbb{N}} N_n$ y debe converger en cualquier otra parte, y por aditividad contable N tiene medida 0. Así que f es cero a.e.