¿En qué se diferencia la teoría de las funciones holomorfas valoradas en el espacio de Banach del tratamiento clásico?

Question

Para un espacio de Banach $V$ en $\mathbb{C}$ y $U \subset \mathbb{C}$ abierto, se puede comprobar fácilmente que las nociones de holomorfía se mantienen para los mapas $f: U \rightarrow V$ como en el sentido clásico. De hecho, creo que incluso se puede utilizar la integral de Lebesgue para la integración de contornos, ya que la integración de Lebesgue en funciones valoradas en el espacio de Banach también está bien desarrollada.

Parece que casi todos los principales resultados del análisis complejo clásico para funciones holomorfas $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ todavía se mantienen de manera análoga. ¿Dónde están algunos puntos cruciales en los que la teoría difiere cuando $f$ toma valores en un espacio de Banach?

Answer 1

L. Schwartz y A. Grothendieck dejaron claro, a principios de la década de 1950, que la teoría de Cauchy (-Goursat) de las funciones holomorfas de una sola variable compleja se extendía sin apenas cambios a las funciones con valores en un espacio vectorial topológico localmente convexo y cuasi-completo. Las fórmulas integrales de Cauchy, los residuos, las expansiones de Laurent, etc., tienen éxito (con modificaciones triviales ocasionales).

Es posible que haya que tener un poco de cuidado con la noción de "integral". La integral "débil" de Gelfand-Pettis es suficiente, pero/y una versión de Bochner de la integral "fuerte" también está disponible.

Además, en gran general, como aclaró Grothendieck, la "holomorfía débil" (es decir, $\lambda\circ f$ holomorfo para todas las funciones lineales (continuas) $\lambda$ en el TVS) implica una holomorfia ("fuerte") (es decir, del valor del TVS $f$ ).

(Varios aspectos de esto, y el material de apoyo, están en línea en http://www.math.umn.edu/~garrett/m/fun/Notes/09_vv_holo.pdf y otras notas cercanas en http://www.math.umn.edu/~garrett/m/fun/ )

Edición: en respuesta a la pregunta adicional de @Christopher A. Wong... No he hecho mucho estudio de reciente textos para ver si se discuten mucho las funciones holomorfas con valor de TVS, pero sospecharía que la mención principal se produce en el entorno de los resolventes de los operadores en los espacios de Hilbert y Banach, abstraídos sólo un poco en las discusiones abstractas de $C^*$ álgebras. (El libro "Functional Analysis" de Rudin menciona las integrales débiles y la holomorfía débil/fuerte y luego no las utiliza mucho, por ejemplo). El libro original de Schwartz sí que trataba estas cosas, y fue el contexto implícito para el primer volumen del "Generalized Functions" de Gelfand-Graev-etal. En este último, los ejemplos son muy pequeños y tangibles, pero (para mi gusto) tremendamente esclarecedores sobre familias de las distribuciones.

Editar-editar: La pregunta adicional de @barto es sobre el comportamiento de los operadores-valores holomorfos $f(z)$ en un punto aislado $z_o$ donde $f(z)$ no es invertible. No pretendo tener una respuesta definitiva a esto, sino sólo sugerir que la respuesta puede ser complicada, pues ya para el caso $f(z)=(T-z)^{-1}$ para un conjunto acotado y autoadjunto $T$ parece que se necesita un poco de trabajo (el teorema espectral) para demostrar que las singularidades aisladas están en el espectro discreto/puntual de $T$ . Pero esto puede ser exagerado, de todos modos...