Producto interior en el espacio complejo - Prueba

Question

Estudiando una introducción a los productos internos de Hermitan y a los espacios complejos, me he encontrado con un ejemplo poco clásico de producto interno.

El ejercicio completo es el siguiente:

Dejemos que $ V =C([0,1])$ el espacio complejo de las funciones continuas : $[0,1] \to \mathbb C$ .

Demuestre que el siguiente es un producto interno :

$\langle x, y\rangle = \int_0^1f(x)\overline{g(x)}dx$

Ahora bien, si V se convierte en el espacio vectorial de las funciones acotadas y parcialmente continuas $\big($ las funciones limitadas $f:[0,1] \to \mathbb C$ para la que existe una secuencia finita $ 0 = a_0 < a_1 < \dots < a_n = 0 $ con $f$ continua en cada $(a_i,a_{i+1})$ $\big)$ ¿la forma superior sigue siendo un producto interior?

¿Necesito mostrar las propiedades del producto interior de Hermitan? Si es así, ¿cómo debo proceder? No sé ni por dónde empezar con esto y parece un ejemplo elemental ya que en todas partes sólo se utiliza como producto interior y nunca se pide la demostración. Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Si permite que las funciones en su espacio sean discontinuas aunque sea en un punto, entonces puede considerar la función $f$ es decir $1$ en tal punto, y $0$ en cualquier otro lugar del intervalo. Entonces $\int_0^1 |f|^2dt=0$ aunque $f$ no es idéntico $0$ . Así que ese es el problema básico: no se consigue la definición positiva.