¿Puedes voltear el extremo de un gran exótico $\mathbb{R}^4$
Antecedentes
Definición ( Exótico $\mathbb{R}^4$ ): Un exótico $\mathbb{R}^4$ es un colector liso $R$ homeomorfo pero no difeomorfo a $\mathbb{R}^4$ , donde $\mathbb{R}^4$ está equipado con su estructura lisa estándar.
Definición ( Grandes exóticos $\mathbb{R}^4$ ): Un gran exótico $\mathbb{R}^4$ es un exótico $\mathbb{R}^4$ que contiene una submanifold lisa compacta de cuatro dimensiones $K'$ que no se puede incrustar sin problemas en $\mathbb{R}^4$ .
Definición ( Fin de un gran exótico $\mathbb{R}^4$ ): Si $R$ es un gran exótico $\mathbb{R}^4$ y $D^4$ es un disco cuatridimensional incrustado topológicamente en $R$ tal que $K' \subset D^4$ entonces $R - D^4$ es un fin de $R$ .
Nota: : La definición anterior varía ligeramente de la definición estándar de "fin", sin embargo se utilizará para el resto de esta pregunta. (Véase Gompf y Stipsicz Ejercicio 9.4.11 para la definición estándar).
Nota: : Si $R - D^4$ es el final de un gran exótico $\mathbb{R}^4$ entonces $R - D^4$ es una variedad suave que hereda una estructura suave de $R$ .
Definición ( Voltear el final de un gran exótico $\mathbb{R}^4$ ): Dado $R - D^4$ el final de un gran exótico $\mathbb{R}^4$ , una vuelta de $R - D^4$ es un difeomorfismo $f: R - D^4 \rightarrow R - D^4$ que mapea la "región interior" de $R - D^4$ , que "cerca" del eliminado $D^4$ a la "región exterior", que "cerca del infinito", y vica-versa.
Nota: : La definición anterior tampoco es estándar. No conozco ninguna definición estándar que tenga, más o menos, el mismo significado.
Así que, a estas alturas, esperamos que el significado de la pregunta esté claro.
Primer plano
En nuestro intento de voltear el final de un gran exótico $\mathbb{R}^4$ una verdad incómoda se interpone en nuestro camino:
Teorema 1 ( Fallan innumerables volteretas ): Hay un número incontable de grandes exóticos $\mathbb{R}^4$ 's que uno no puede voltear el final.
Veamos rápidamente por qué esto es cierto. El lema 9.4.2 junto con el apéndice 9.4.4 de Gompf y Stipsicz estado:
Lema 1 : Existen pares $(X,Y)$ y $(L,K)$ de los cuatro manifolds lisos y orientados con $X$ simplemente conectado, $Y$ y $K$ compacto, $X$ y $L$ abierto (es decir, no compacto y sin límites), $L$ homeomorfo a $\mathbb{R}^4$ et $X$ con forma de intersección definida negativa no isomorfa a $n\langle-1\rangle$ , de tal manera que $X - int(Y)$ y $L - int(K)$ son difeomorfos que conservan la orientación.
El teorema 9.4.3 de Gompf y Stipsicz estados:
Teorema : Cualquier $L$ como aparece en el Lemma 1 es un gran exótico $\mathbb{R}^4$ .
Las dos afirmaciones anteriores conducen a:
Lema : No se puede voltear el final de cualquier $L$ tal y como aparece en el lema 1.
Prueba : Supongamos que uno puede voltear el final de $L$ . Por lo tanto, se podría utilizar este tirón para pegar $L$ hasta el "final" de $X$ y obtenemos una cuatromanifolda lisa simplemente conectada con forma de intersección definida negativa no isomorfa a $n\langle-1\rangle$ . Sin embargo, según el Teorema de Donaldson ( Gompf y Stipsicz Teorema 1.2.30) no existe tal colector. Por lo tanto, no existe tal volteo. QED
Ahora hemos demostrado que $L$ no puede ser volteado. Antes de mostrar cómo incontables grandes exóticos $\mathbb{R}^4$ no se puede voltear, necesitamos la definición:
Definición ( Familia Radial ): Sea $R$ ser un exótico $\mathbb{R}^4$ . Por lo tanto, existe un homeomorfismo $h:\mathbb{R}^4 \rightarrow R$ . Definir $R_t$ como la imagen bajo $h$ de la bola abierta de radio $t$ centrado en $0$ en $\mathbb{R}^4$ . Una familia radial es un conjunto de la forma $\{R_t | 0 < t \le \infty \}$ .
Nota: : Si $R_t$ es un miembro de una familia radial, entonces $R_t$ es una variedad suave ya que hereda una estructura suave de $R$
El teorema 9.4.10 de Gompf y Stipsicz estados:
Teorema : Si $\{L_t | 0 < t \le \infty \}$ es una familia radial para un $L$ tal y como aparece en el lema 1 y $r$ es tal que $K \subset L_r$ entonces $\{L_t | r \le t \le \infty \}$ es una familia incontable de grandes exóticos no difeomórficos $\mathbb{R}^4$ 's.
Esto nos lleva directamente a la demostración del Teorema 1.
Prueba : Supongamos que uno puede voltear el final de $L_t$ para $r \le t \le \infty$ donde toda la notación es como en el teorema anterior. Por lo tanto, se puede utilizar esta vuelta para pegar $L_t$ hasta el "final" de $X$ menos la imagen de $L - L_t$ y obtenemos una cuatromanifolda lisa simplemente conectada con forma de intersección definida negativa no isomorfa a $n\langle-1\rangle$ . De nuevo, según el Teorema de Donaldson ( Gompf y Stipsicz Teorema 1.2.30) no existe tal colector. Por lo tanto, no existe tal volteo. QED
Las cosas parecen bastante desesperadas en este momento. De hecho, las cosas están peor de lo que parecen. Pero, antes de deleitarnos con esta desesperación, debemos introducir dos definiciones:
Definición ( Simply Connected en Infinity ): Sea $Z$ sea una variedad topológica. $Z$ es simplemente conectado en el infinito si para cualquier subconjunto compacto $C$ de $Z$ existe un subconjunto compacto $C'$ de $Z$ que contiene $C$ y es tal que la inclusión $Z - C' \rightarrow Z - C$ induce a el mapa trivial $\pi_1(Z - C') \rightarrow \pi_1(Z - C)$ .
Definición ( Fin de la suma ): Sea $Z_1$ y $Z_2$ sean cuatro manifolds lisos orientados no compactos que son simplemente conectados en el infinito. Elijamos dos incrustaciones suaves adecuadas $\gamma_i : [0, \infty) \rightarrow Z_i$ . Retire un barrio tubular de $\gamma_i((0, \infty))$ de cada $Z_i$ y pegar el resultado $\mathbb{R}^3$ límites juntos respetando orientaciones. El resultado es la suma final $Z_1 \natural Z_2$ de $Z_1$ y $Z_2$ .
Nota: : El requisito de que $Z_i$ es simplemente conectado en el infinito garantiza que $\gamma_i$ es única hasta la isotopía ambiental y, por tanto, $Z_1 \natural Z_2$ es único hasta el difeomorfismo ( Gompf y Stipsicz Definición 9.4.6).
Nota: : Si $R_1$ y $R_2$ son exóticas $\mathbb{R}^4$ entonces son de orientación no compacta orientados y suaves que están simplemente conectados en el infinito y $R_1 \natural R_2$ es una variedad suave homeomorfa a $\mathbb{R}^4$ .
Nota: : $X$ del lema 1 es simplemente conectado en el infinito.
Teorema 2 : Si $\{L_t | 0 < t \le \infty \}$ es una familia radial para un $L$ como aparece en Lema 1 y $r$ es tal que $K \subset L_r$ , donde $K$ es como en el lema 1, entonces para $R$ un exótico $\mathbb{R}^4$ y $t$ tal que $r \le t \le \infty$ existe ninguna vuelta de $R \natural L_t$ .
Prueba : La prueba es básicamente una ligera variación del tema anterior. Supongamos que uno puede voltear el final de $R \natural L_t$ para $r \le t \le \infty$ . Por lo tanto, se podría utilizar esta vuelta para pegar $R \natural L_t$ hasta el "final" de $X$ menos la imagen de $L - L_t$ fin de la suma con $R$ En otras palabras, con el pegamento del tirón $R \natural L_t$ a $R \natural (X - (L - L_t))$ y obtenemos un liso cerrado simplemente conectado con forma de intersección definida negativa no isomorfa a $n\langle-1\rangle$ . De nuevo, según el Teorema de Donaldson ( Gompf y Stipsicz Teorema 1.2.30), no existe tal colector. Por lo tanto, no no existe tal volteo. QED
Ahora podemos deleitarnos con esta desesperación.
Sin embargo, otras formas de crear grandes exóticas $\mathbb{R}^4$ existe. Por ejemplo, dado un nudo topológicamente rebanado que no es suavemente rebanado se puede crear un gran exótico $\mathbb{R}^4$ . (Véase, por ejemplo, Davis .) Un exótico tan grande $\mathbb{R}^4$ por lo que veo, podría admitir una vuelta de tuerca final. Pero, no estoy seguro. Por lo tanto, terminamos donde empezamos.
Pregunta
¿Puedes voltear el extremo de un gran exótico $\mathbb{R}^4$ ?
