intersección de dos curvas en un cuadrado

Question

Siento hacer esta pregunta tan trivial:

Deje que $R$ ser un cuadrado $[0,1] \times [0,1]$ y $A$ es una curva continua de $(0,0)$ a $(1,1)$ mientras que $B$ es otra curva continua de $(0,1)$ a $(1,0)$ . Demuestra que $A$ y $B$ siempre se cruzan.

He probado varios métodos, por ejemplo, el teorema del punto fijo y el gráfico plano incrustado en una banda de Möbius, etc. Y creo que esta cuestión está relacionada con la compacidad y Hausdorff.

Gracias.

Answer 1

Es necesario especificar que ambas curvas deben permanecer en el cuadrado, de lo contrario una de ellas podría salir al exterior (haz un dibujo)...

Dicho esto, si ambas curvas permanecen dentro del cuadrado, ¿qué pasa si dibujamos un quinto punto P fuera del cuadrado, y luego dibujamos curvas continuas desde P a cada una de las cuatro esquinas del cuadrado, quedando las cuatro curvas fuera del cuadrado (y sin tocarse entre sí) hasta que llegan a las esquinas? Si sus dos curvas originales de alguna manera no se cruzan, ¿qué se ha dibujado? De nuevo, dibuja algunas imágenes.

EDITORIAL: usted usó las palabras gráfico plano, eso debería ser suficiente pista. Olvida la banda de Moebius.