Una inyección entre conjuntos finitos de igual tamaño debe ser una biyección

Question

A mí me parece lógico que si tengo dos conjuntos finitos de igual tamaño, y hay una inyección entre ellos, entonces esa inyección debe ser una biyección.

Sin embargo, por supuesto, no podemos limitarnos a afirmar estas cosas, como han demostrado en el pasado varios contraejemplos tramposos.

Sin embargo, no puedo demostrar esta afirmación. ¿Cómo sería una prueba de esta afirmación? Veo que ahora tenemos que demostrar que el mapeo es también suryectivo, pero no estoy completamente seguro de cómo hacerlo.

Además, la condición anterior tiene que los conjuntos son finitos. ¿Qué ocurre si eliminamos esta condición? ¿Ya no se cumple necesariamente la afirmación?

Answer 1

Sugerencia: para dos finito conjuntos A y B, ¿qué pasaría si una inyección de A a B no fuera una suryección?

Si $A,B$ son ambos infinitos, dejemos que $A=B=\Bbb N$ entonces $f(x)=x+1$ es una inyección de $A$ a $B$ pero...

Answer 2

La prueba es esencialmente un ejercicio de persecución de definiciones, es bueno hacerlo por uno mismo. Escribe la definición de surjectividad, piensa en lo que podría salir mal, y demuestra que eso no puede suceder debido a la inyectividad. Quizá te ayude dibujar algunos diagramas con dos conjuntos de puntos y flechas entre ellos describiendo una función. Es un buen ejercicio. Un ejercicio apropiado que sigue la misma idea es que si $\phi: V \to V$ es un automorfismo lineal inyectivo de un espacio vectorial de dimensión finita.

Obviamente, esto no es cierto si los conjuntos no son finitos, $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ dado por $f(x) = 2x$ es un contraejemplo, y hay muchos más.

Edición: Realmente creo que debo señalar que una de las definiciones de un conjunto infinito es un conjunto $A$ de manera que existe un $f: A \to A$ que no es surjetivo. Así que esto falla definitivamente para conjuntos infinitos.