Esto surgió de una vieja idea mía de cuando era estudiante sobre cómo abordar la conjetura de Schreier. (Obviamente) nunca le di mucha importancia, pero me preguntaba si se sabía mucho sobre ella.
Dejemos que $G$ sea un grupo finito. El grupo $\mathrm{Out}(G)$ tiene un subgrupo normal $\mathrm{Out}_c(G)$ de automorfismos exteriores preservadores de clase, es decir, el grupo $\mathrm{Aut}_c(G)/\mathrm{Inn}(G)$ , donde $\mathrm{Aut}_c(G)$ es el subconjunto de $\mathrm{Aut}(G)$ que dejan invariante cada clase de conjugación de $G$ . Obsérvese que todos los primos que dividen $|\mathrm{Out}_c(G)|$ dividir $|G|$ y si $G$ es simple entonces $\mathrm{Out}_c(G)=1$ (Feit-Seitz).
Un enfoque de Schreier sin CFSG es cortar $\mathrm{Out}(G)$ en dos, y demostrar que $\mathrm{Out}_c(G)$ y $\mathrm{Out}(G)/\mathrm{Out}_c(G)$ son ambos solubles. Cada uno de estos parece difícil, pero la pregunta obvia, incluso con CFSG, es:
Es $\mathrm{Out}_c(G)$ soluble para cualquier grupo finito $G$ ?
Los candidatos obvios para grupos con automorfismos no preservadores de la clase interna son $p$ -grupos, donde esta afirmación se mantiene claramente. Así que tal vez tenga una posibilidad de ser cierta en general. No he podido encontrar muchos avances en los automorfismos preservadores de clase, así que quizá esta cuestión esté demasiado lejos de nuestro alcance por el momento.
