¿La acotación uniforme implica la equicontinuidad en dominios compactos?

Question

Supongamos que $F:\mathbb R^2 \to \mathbb R$ es continua. Supongamos que $f_n$ es una secuencia uniformemente acotada de funciones de valor real sobre $[0,1]$ tal que para cada $n, f_n'(x) = F(x,f_n(x)),x\in [0,1].$

¿Existe una subsecuencia $f_{n_k}$ que converge uniformemente en $[0,1]?$

Esta cuestión parece reducirse a probar $\{f'_n(x)\}$ es equicontinuo. Si es así, entonces tiene una subsecuencia uniformemente convergente y entonces también $\{f_n\}$ . Conocemos cada $f_n'(x)$ es uniformemente continua en $[0,1]$ por la compacidad. Pero en general, la continuidad uniforme de cada función no implica la equicontinuidad, ¿correcto?

Answer 1

La respuesta es sí. La prueba: Se da que existe una constante $M$ tal que $|f_n|\le M$ en $[0,1]$ para todos $n.$ Ahora $F$ es continua en $[0,1]\times [-M,M],$ un conjunto compacto. Por lo tanto, $|F|$ está limitada por alguna constante $C$ en este set. De ello se desprende que

$$|f_n'(x)| = |F(x,f_n(x))| \le C$$

para todos $n$ y todos $x\in [0,1].$ Por el teorema del valor medio, tenemos entonces $|f_n(y)-f_n(x)| \le C|y-x|$ para todos $n$ y todos $x,y \in [0,1].$ Esto muestra $(f_n)$ es equicontinuo, y como $(f_n)$ está uniformemente acotada, Arzela-Ascoli da la subsecuencia deseada uniformemente convergente.