Árboles en grupos de crecimiento exponencial

Question

Pregunta: Dejemos que $G$ sea un grupo finitamente generado con crecimiento exponencial. ¿Existe un conjunto generador finito $S \subset G$ , tal que el grafo de Cayley asociado $Cay(G,S)$ contiene un árbol binario?

Algunos antecedentes:

1. La existencia de dicho árbol implica claramente un crecimiento exponencial.

2. Kevin Whyte mostró en Amenabilidad, equivalencia de Bilipschitz y la conjetura de Von Neumann Duke Journal of Mathematics 1999, p. 93-112, que tales árboles existen si $G$ no es susceptible. Por lo tanto, la cuestión sólo está abierta para los grupos susceptibles de crecimiento exponencial.

3. Una buena razón para que exista dicho árbol binario es la existencia de un semigrupo libre dentro de $G$ . De hecho, si $G$ es soluble, entonces se sabe que la existencia de tal semigrupo es equivalente al crecimiento exponencial (y equivalente a no ser virtualmente nilpotente). Esto forma parte de alguna versión o extensión de la alternativa de Tits. Grigorchuk construyó un grupo de torsión amenable con crecimiento exponencial, que no contiene tal semigrupo, pero contiene un árbol binario.

EDITAR: Al Tal señaló en una respuesta más abajo que Benjamini y Schramm cubrieron el caso noamenable (esto es 2. de arriba) ya en Benjamini y Schramm " Todo gráfico con una constante de Cheeger positiva contiene un árbol con una constante de Cheeger positiva ", GAFA, 1997.

Answer 1

Mira a Russell Lyons, Random walks and the growth of groups, C. R. Acad. Sci. Paris 320 (1995), 1361--1366 (puedes encontrarlo en la página web de Lyons). Consideremos un conjunto generador cualquiera y, para cada vértice, tomemos el camino más corto que conecte el vértice con 1. A continuación, tomemos la unión de todos estos caminos. Lo que se obtiene es un subárbol (de extensión) que tiene un crecimiento exponencial. Creo que en el artículo, Lyons demuestra que este árbol contiene un subárbol binario si la función de crecimiento es exponencial. La razón es que el grado de crecimiento se puede expresar en términos de los llamados "cortes". Y si el árbol de extensión tiene demasiados vértices de grado 2, habría demasiados cortes formados por un vértice, y la tasa de crecimiento sería 0. Por supuesto, este árbol no es un subgrafo completo, sólo un subgrafo, pero la pregunta pide un subgrafo solamente.

Answer 2

Hace algún tiempo me interesé por la misma cuestión, pero para el caso reforzado, bi-Lipschitz (mencionado anteriormente por Bill Johnson). Para los grupos noamenables es cierto; Victor Guba me dijo cómo demostrarlo, utilizando los criterios de noamenabilidad de Gromov. También me dijeron que este resultado se obtuvo en un trabajo de Benjamini y Shramm (no conozco el artículo).

Para los grupos susceptibles de crecimiento exponencial la respuesta es desconocida para mí, pero me interesa mucho.

También es interesante si lo mismo se mantiene para el siguiente caso un poco más general. Gráfico $\Gamma$ no es necesariamente un grafo de Cayley, sino un grafo transitivo de vértices que tiene un crecimiento exponencial de la cardinalidad de las bolas (consideramos bolas centradas en algún punto fijo).

Answer 3

Si G es un grupo soluble finitamente generado con crecimiento exponencial, entonces G contiene un semigrupo libre cuasi-isométricamente incrustado (este es un resultado de Y. Cornulier y R. Tessera, Quasi-isometrically embedded free sub-semigroups; Geom. Topol. 12 461-473, 2008, mejorando a Rosenblatt)

Answer 4

Esta (tan bonita) cuestión parece ser equivalente con el notorio y antiguo problema de construir un grupo supraamenable (o superamenable) de crecimiento exponencial. Recordemos que un grupo supraamenable es aquel en el que todo conjunto no vacío no es G-paradójico, o lo que es lo mismo, dado cualquier subconjunto no vacío de G, existe una medida invariante finitamente aditiva sobre G que asigna la medida uno al conjunto. Todos los grupos de crecimiento subexponencial son supraamenables, pero no se conoce ningún otro ejemplo.

Las definiciones básicas están aquí (antes del Ejercicio 8 y la Observación 3) http://terrytao.wordpress.com/2009/01/08/245b-notes-2-amenability-the-ping-pong-lemma-and-the-banach-tarski-paradox-optional/

La pregunta aparece, por ejemplo, como Pregunta 70 aquí, pero es mucho más antigua http://www.unige.ch/math/folks/delaharpe/articles/18-CGH.pdf

La no supraamenabilidad parece ser equivalente a la existencia de un conjunto generador tal que el grafo de Cayley contenga el árbol binario. En efecto, si dicho conjunto generador $S$ existe entonces el conjunto $V$ que contiene los vértices del árbol es paradójica utilizando elementos de $S^{-1}$ : tome el subconjunto de los hijos de la izquierda y el de los hijos de la derecha, ambos cubrirán a sus madres. A la inversa, si $X=X_1 \sqcup X_2$ es un subconjunto paradójico de $G$ y $S$ es el conjunto (finito) de elementos involucrados en la paradoja, entonces $S^{-1}$ siempre y cuando uno se asegure de que la identidad no está en $S$ (que se puede suponer). Comience con cualquier $x \in X$ como raíz inicial. Una paradoja no es más que una $2$ a $1$ a trozos $G$ - mapa $f:X \rightarrow X$ por lo que se puede elegir el hijo izquierdo la imagen del contador de $x$ sur $X_1$ y para el hijo derecho la imagen del contador en $X_2$ y continuar por inducción (hay un pequeño problema, en un punto exacto del proceso puede producirse un ciclo (debido a que la raíz intenta conectarse), pero entonces se puede borrar toda la mitad infectada...)