Dejemos que $\sf{B}$ sea una categoría abeliana y $\sf{A} \subset \sf{B}$ ser un aditivo subcategoría en el sentido de que $\hom_\sf{A}(M,N) \cong \hom_\sf{B}(M,N)$ como grupos abelianos . Sea $\phi:M \to N$ sea un morfismo en $\sf{B}$ y considerar su núcleo $K$ es decir, tenemos una secuencia exacta $$ 0 \to K \to M \to N $$ Supongamos ahora que $M, N$ y $K$ yacen en la imagen (esencial) de $\sf{A}$ . Entonces $K$ es el núcleo de $M \to N$ visto como un morfismo en $\sf{A}$ :
Según nuestra suposición, el compuesto $K \to M \to N$ sigue siendo $0$ y dado cualquier mapa $T \to M$ sur $\sf{A}$ con $T \to M \to N$ igual al mapa cero, entonces podemos encontrar una elevación única $T \to K$ sur $\sf{B}$ pero como $\sf{A}$ está lleno, se trata de un ascensor único en $\sf{A}$ también.
Utilizando un argumento dual concluimos que lo mismo ocurre con los cokernels.
El resultado es que si tenemos una subcategoría completa de una categoría abeliana que es cerrada bajo Kernel y cokernel (al menos en la imagen esencial) entonces el functor de inclusión es exacto, es decir, se trata de una subcategoría abeliana.
Ahora sólo observamos que esto es cierto para la cuasi-coherencia y para coherente módulos.
