Si todos los números de $(1^\alpha,\,2^\alpha,\,3^\alpha,\,\dotsc)$ son entero, $\alpha$ es un número entero.

Question

Un teorema de Siegel afirma que

Si $\beta>0$ $2^\beta,\,3^\beta,\,5^\beta$ son enteros, entonces $\beta$ es un número entero.

El siguiente resultado es una hermosa consecuencia de este teorema

Si $\beta$ es un número positivo tal que $1^\beta,\,2^\beta,\,3^\beta,\,\dotsc$ son enteros, entonces $\beta$ es en sí mismo es un número entero.

Estoy buscando una prueba de este resultado.

Nota. Este resultado apareció como un problema en el 1972 Putnam Premio de la competencia, y no uno de los más de 2000 estudiantes de la universidad de los competidores le dio una solución; la solución, aunque no es difícil, bien podría eludir incluso un matemático profesional durante varias horas (o días).

Answer 1

Bien, 1d.M, aquí una extensión de importante y hermoso Teorema de Siegel (yo no sé). Es evidente $\beta$ tiene que ser entero o irracional y por otro teorema de Siegel $\beta$ debe ser trascendental. Supongo que la instrucción va para cualquiera de las tres coprime de enteros x, y, z de la triple 2, 3, 5 haber sido elegido para el más pequeño.Así, el verdadero espíritu de la declaración de Siegel sería "todos trascendental como exponente de un número entero puede da entero en más de dos veces".