Ser un subgrupo: prueba por teoría de caracteres

Question

Permítanme citar primero un teorema debido a Frobenius:

Dejemos que $G$ sea un grupo finito, con $H$ un subgrupo propio ( $H\ne (1)$ y $G$ ). Supongamos que para cada $g\not\in H$ tenemos $H\cap gHg^{-1}=(1)$ . Entonces $$N:=(1)\cup(G\setminus\bigcup_{g\in G}gHg^{-1})$$ es un subgrupo normal de $G$ .

La prueba es fascinante. Uno nunca prueba directamente que $N$ es estable bajo el producto y la inversión. En su lugar, se construye un carácter complejo $\chi$ en $G$ con la propiedad de que $\chi(g)=\chi(1)$ si y sólo si $g\in N$ . Esto garantiza (utilizando el caso de igualdad en la desigualdad del triángulo) que la representación correspondiente $\rho$ satisface $\rho(g)=1$ si y sólo si $g\in N$ . Por lo tanto, $N=\ker \rho$ es un subgrupo, ¡uno normal!

¿Alguien conoce otro ejemplo en el que un subconjunto $S$ de un grupo finito $G$ se demuestra que es un subgrupo (quizás uno normal) utilizando la teoría de caracteres? ¿Existe alguna situación análoga cuando $G$ es infinito, digamos localmente compacto o compacto?

Editar : Si el último argumento, en la prueba de que $S$ es un subgrupo, es que $S$ es el núcleo de algún personaje, entonces $S$ tiene que ser normal. Por lo tanto, una pregunta aún más interesante es si existe alguna (familia de) pares $(G,T)$ donde $T$ es un subgrupo no normal de $G$ y el hecho de que $T$ es un subgrupo se demuestra por la teoría de caracteres. Estaría encantado de tener un ejemplo, incluso si hay otra prueba sin caracteres

Answer 1

Hay otra clase de ejemplo, pero no es un buen ejemplo, ya que apela a un resultado conocido sólo como consecuencia de la Clasificación de los Grupos Finitos Simples (cuya demostración implica MUCHA teoría de caracteres, en lugar de una nueva técnica más, o una variación más de una vieja técnica básica de teoría de caracteres). Sin embargo, generaliza estrictamente ese teorema de Frobenius (dejando que $n$ sea el orden del núcleo de Frobenius):

Dejemos que $G$ sea un grupo finito, y supongamos que $n$ es un número entero positivo que divide a $|G|$ . Si el número de soluciones en $G$ a $x^{n} = 1$ es exactamente $n$ Estas soluciones forman un subgrupo de $G$ .

Para la prueba, véase

Nobuo Iiyori y Hiroyoshi Yamaki, On a conjecture of Frobenius, Bulletin of the American Mathematical Society (New Series) 25 (1991), no. 2, 413-416 .

Al igual que con el teorema de Frobenius que este resultado generaliza, es fácil demostrar este subconjunto de $G$ contiene la identidad y es cerrado bajo la toma de inversos. Así que la única dificultad es demostrar el cierre bajo composición...

Answer 2

Permítanme reformular mi comentario.

Dar las condiciones suficientes para que un carácter sea un carácter de permutación.

Answer 3

Más atractiva es la cuestión de determinar la existencia de un subgrupo H (que no tiene por qué ser normal) de G a partir de la tabla de caracteres de G.