Expectativa de una pieza más corta

Question

La pregunta original es:

Supongamos que una barra de metal de 12 pulgadas dentro de una fábrica de algún tipo está asegurada en ambos extremos. La varilla se somete a una presión considerable hasta que se rompe limpiamente. Dejemos que $X$ sea la distancia del extremo izquierdo donde se produce la rotura, y el pdf de $X$ se da como: $$f_X(x)=\left\{\begin{array}{rl} \left(\dfrac{x}{24}\right)\left(1-\dfrac{x}{12}\right), & 0\le x \le 12 \\ 0, & \text{otherwise} \end{array}\right.$$ Encuentra la longitud esperada del segmento más corto cuando la varilla se rompe.

Encontré el valor esperado usando: $$E[X]=\dfrac{1}{24} \int_0^{12}\left({x^2-\dfrac{x^3}{12}}\right)dx=6$$ Pero la respuesta se da como $3.75$ y no tengo ni idea de cómo lo han conseguido. ¿No esperaría que la varilla se rompiera exactamente en el medio, y por lo tanto, no habría un segmento más corto o más largo en primer lugar? ¿O se trata de una expectativa condicionada?

Answer 1

Dejemos que $Y = \min\{X,12-X\}$ . Observando que $0 \leq X \leq 12$ Tenemos eso:

• Cuando $X\leq 6$ , $Y=X$
• Cuando $X \geq 6$ , $Y=12-X$

así que en otras palabras:

\begin{equation} Y=\left\{ \begin{array}{lr} X & ;\,\,X\leq 6\\ 12-X & ;\,\,X\geq 6 \end{array}\right.\end{equation}

Por lo tanto, la integral se convierte en:

$$\mathbb{E}(Y)=\int_0^6x\cdot \left(\dfrac{x}{24}\right)\left(1-\dfrac{x}{12}\right)\,dx\,+\,\int_6^{12}(12-x)\cdot \left(\dfrac{x}{24}\right)\left(1-\dfrac{x}{12}\right)\,dx$$