Para los casos continuos y monótonamente crecientes $f$ con $f(0)=0$ y $f(1)=1$ , demuestre que $\sum_{k=1}^{10}f(k/10)+f^{-1}(k/10)\leq 99/10$

Question

Una pregunta de la Olimpiada Matemática de Leningrado 1991:

Dejemos que $f$ sea continua y monótonamente creciente, con $f(0)=0$ y $f(1)=1$ . Demuestra que: $$ \text{f}\left( \frac{1}{10} \right) +\text{f}\left( \frac{2}{10} \right) +...+\text{f}\left( \frac{9}{10} \right) +\text{f}^{-1}\left( \frac{1}{10} \right) +\text{f}^{-1}\left( \frac{2}{10} \right) +...+\text{f}^{-1}\left( \frac{9}{10} \right) \leqslant \frac{99}{10} $$

Intenté expresarlos en áreas para encontrar desigualdades pero fracasé.

Answer 1

Sólo para convertir el comentario de @LeBlanc en una respuesta:

Para $1\le i\le 9$ dejar $S_i$ denotan el rectángulo con base $x\in[\tfrac{i}{10},\,\tfrac{i+1}{10})$ y la altura $f(\tfrac{i}{10})$ y que $P_i$ denotan el rectángulo con base $y\in[\tfrac{i}{10},\,\tfrac{i+1}{10})$ y la altura $f^{-1}(\tfrac{i}{10})$ . Estos $18$ las áreas no se superponen; $S:=\bigcup_iS_i$ es un subconjunto del área bajo $y=f(x)$ , mientras que $P:=\bigcup_iP_i$ es un subconjunto del área en el cuadrado $[0,\,1]^2$ por encima de $y=f(x)$ . Además, cualquier punto de cualquier $P_i$ tiene $x\ge\frac{1}{10}$ mientras que cualquier punto de cualquier $S_i$ tiene $y\ge\frac{1}{10}$ . Así, $$P\cup S\subseteq[0,\,1)^2\setminus[0,\,\tfrac{1}{10})^2.$$ La suma deseada es $10$ veces el área de $P\cup S$ completando la prueba.

El diagrama de LeBlanc incluye la exposición anterior; esperemos que el enlace funcione indefinidamente.

Answer 2

Nota: En el título de la pregunta el límite superior de $k$ necesita ser 9.

Cuando $y=f(x)$ es monotónicamente creciente en el dominio $D$ entonces el área bajo las curvas $y=f(x)$ y $y=f^{-1}(x)$ es mayor que las de los rectángulos resprctivos que están debajo de ellas. También la suma de las integrales de área $$A=\int_{x_1}^{x_2} f(x)~ dx+\int_{y_1}^{y_2} f^{-1} (y)~ dy = x_2 y_2 -x_1 y_1$$ Aquí $f: [0,1]\rightarrow[0,1]$ . Dividamos el dominio en 10 franjas de anchura $1/10$ . Sea $S$ denota el área bajo los rectángulos de igual anchura. Entonces $$S= \frac{1}{10}\sum_{k=1}^{9} [f(k/10)+ f^{-1}(k/10)] \le \sum_{k=1}^{9} \frac{(k+1)^2-(k)^2}{100}= \sum_{k=1}^{9}\frac{2k+1}{100}=\frac{99}{10}$$ $$\Rightarrow \sum_{k=1}^{10} [f(k/10)+ f^{-1}(k/10)] \le \frac{99}{10}. $$ Como $S$ es la suma del área de los rectángulos por debajo de las curvas $y=f(x)$ y $y=f^{-1}(x)$ .